Menu
عکس های غمگین پروفایل عکس افکتینو

منطق ضامن استدلال، خانه ریاضیات | منطقی فکرکنیم

ฬଘم೯دا
سري کتابهاي ریشه
جلد اول
منطق؛ ضامن استدلال
حاوي ۷۷ مسأله با حل تشریحی
این کتاب در سه روز نوشته شده است
شما سی روز براي خواندن آن فرصت دارید
تألیف مجید میرزاوزیری
استاد گروه ریاضͳ محض دانشΎاه فردوسͳ مشهد
Madjid Mirzavaziri (Professor)
Ferdowsi University of Mashhad
تقدیم به دلارام
به خاطر
استدلالهاي منطقیاش
٠
مقدمه
ارسطو: ریشههای یادگیری تل΁ است اما
ثمر شیرین دارد.
افراد زیادی را مͳشناسم که دوست دارند ریاضیات را به صورت
ریشهای یاد بΎیرند. این افراد مم΋ن است در بین کسانͳ باشند
که مͳخواهند در المپیادها و مسابقههای ریاضͳ شرکت کنند و یا
کسانͳ که سن و سالͳ دارند و تمایل دارند بالاخره مش΋ل خود را
با ریاضͳ حل کنند.
من سری کتابهای ریشه را برای چنین افرادی نوشتهام و به
جملهای که از ارسطو در بالا آوردهام پایبندم؛ بͳتردید ثمرۀ این
یادگیری شیرین خواهد بود.
این کتابها قدمͳ اولیه برای یادگیری زبان ریاضͳ است و
بدون شΈ هیͿ کتابͳ برای یادگیری همه چیز کافͳ نیست. برای
یادگیری ریاضͳ باید خود را درگیر حل مسائل کنید و سعͳ
خودتان مسألههای مشابهͳ را طراحͳ کنید.
طبق معمول معتقدم آنچه کتابͳ را در ویرایشهای بعدی خوب
مͳکند اهمیت دادن به نظرات خوانندگان است. از این رو منتظر
دیدن نظراتͳ که از طریق نشانͳ com.gmail@mirzavaziri برایم
مͳفرستید هستم.
مجید میرزاوزیری
دانشΎاه فردوسͳ مشهد
تابستان ١٣٩٢
فهرست
٠ مقدمه آ
١ سخنͳ کوتاه در مورد منطق ١
٢ راستΎو، دروغΎو ۵
٣ وزنهها، س΋هها، ترازو ١٩
۴ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر ٣۵
۵ کمترین، بیشترین ۶۵
١
سخنͳ کوتاه در مورد
منطق
حق با شماست! کاملا̈ حق با شماست!
فقط اگر باران ببارد زمین خیسمͳشود.
وقتͳ مͳخواهید مسألهای را برای کسͳ حل کنید باید برای پاس΁
خود دلیل منطقͳ بیاورید. اما این همۀ استفادۀ منطق نیست. گاهͳ
اوقات شما در حال حل کردن مسألهای در ذهن خود هستید و
قرار نیست برای کسͳ دلیل بیاورید ولͳ لازم است حداقل خود را
به طور منطقͳ قان کنید که شیوۀ ف΋ر کردن شما درست است.
حالت دیΎری نیز وجود دارد که مم΋ن است شما به منطق احتیاج
داشته باشید: وقتͳ مͳخواهید کاری را انجام دهید و قصد دارید
روشهای نامطلوب برای انجام کار را کنار بΎذارید. بنابراین چه
در حالتͳ که مͳخواهید سؤالͳ را به صورت تشریحͳ پاس΁ دهید،
٢ سخنͳ کوتاه در مورد منطق
چه وقتͳ که مͳخواهید یΈ سؤال تستͳ را جواب دهید و چه
هنΎامͳ که قرار است کاری را به ش΋لͳ مطلوب به انجام برسانید
نیازمند منطق هستید. اما سؤال این است: راه منطقͳ چیست و
چΎونه انجام مͳشود؟
ارائۀ بحثͳ اساسͳ مبتنͳ بر شالودههای دقیق ریاضͳ ،کار ما در
این کتاب نیست و از این رو نمͳخواهیم وقت خود را صرف انجام
منطقͳ آموزش منطق ب΋نیم. آنچه برای ما اهمیت دارد این است
که ی΋ͳ دو ابزار ساده برای این منظور داشته باشیم. ما در اینجا
فقط به دو ن΋تۀ کلیدی در استدلالهای منطقͳ اشاره مͳکنیم.
فرض کنیم مͳخواهیم درستͳ جملهای مانند P را اثبات کنیم.
ی΋ͳ از روشهای منطقͳ برای انجام این کار این است که از بˇرهانِ
خُلْف استفاده کنیم. در روش برهان خلف برای آن که درستͳ
گزارۀ P را اثبات کنیم در ابتدا فرض مͳکنیم که این جمله درست
نباشد. این فرض را فرض خلف مͳنامیم. سپس سعͳ مͳکنیم با
استفاده از این فرض اشتباه، خود را به یΈ گزارۀ همیشه نادرست
برسانیم. این گزارۀ همیشه نادرست را تناقض مͳنامند. در پایان
نتیجه مͳگیریم که فرض اشتباه ما اشتباه بوده و در نتیجه گزارۀ P
نمͳتواند نادرست باشد. بنابراین گزارۀ P درست است.
مثلا̈ فرض کنید در حال گفت و گو با ی΋ͳ از دوستان خود
هستید و او مͳخواهد نظر شما را در مورد خیس شدن زمین پس
از بارش باران بداند. شما به او مͳگویـید که اگر باران ببارد زمین
خیس مͳشود اما او معتقد است که فقط اگر باران ببارد زمین خیس
مͳشود. دقت کنید که وجود کلمۀ «فقط» در جملۀ قبلͳ چقدر
مͳتواند معنای این جمله را تغیـیر دهد. شما اصرار دارید که
منطق؛ ضامن استدلال ٣
او اشتباه است و او پافشاری مͳکند که وجود کلمۀ فقط در این
جمله بسیار ضرروی است. شما در این حالت برای اثبات حرف
خود چه مͳکنید؟ البته راههای زیادی برای اثبات حرف شما وجود
دارد. مثلا̈ مͳتوانید با مشت در دهان او ب΋وبید و دندانهایش را
خرد کنید. به این ترتیب او دیΎر نمͳتواند صحبت کند و در
نتیجه جایـͳ برای بحث باقͳ نمͳماند. طبیعͳست که این راه اصلا̈
منطقͳ نیست. راه منطقͳ برای اثبات ادعای شما چیست؟ یΈ
روش منطقͳ این است که شما از برهان خلف استفاده کنید. وقتͳ
او اصرار دارد که حرفش درست است شما به او بΎویـید «حق با
شماست! کاملا̈ حق با شماست! فقط اگر باران ببارد زمین خیس
مͳشود.» این جملۀ شما را فرض خلف مͳنامند. سپس دست او
را بΎیرید، به حیاط ببرید، یΈ سطل آب روی زمین بریزید و به او
بΎویـید «دیدی راههای دیΎری هم برای خیس شدن زمین وجود
دارد و درست نیست که فقط اگر باران ببارد زمین خیس مͳشود!»
به این ترتیب شما در حقیقت، او را با یΈ تناقض مواجه کردهاید
و در نتیجه مشخص مͳشود که فرض خلف شما اشتباه بوده و لذا
ادعای شما اثبات مͳشود.
بنابراین دو چیز را در این میان یاد گرفتیم: «برهان خلف»
و این که بین «اگر» و «فقط اگر» تفاوت عمدهای وجود دارد.
همین برای حل کل مسألههای این کتاب کافͳست. نیازی نیست
چیزهای زیادی بلد باشید. همین که چیز کمͳ را زیاد بلد باشید
و بتوانید از ابزاری که فرا گرفتهاید قدرتمندانه استفاده کنید به
مقصود م
٢
راستΎو، دروغΎو
افلاطون: یΈ مرد خردمند سخن
مͳگوید چون چیزی برای گفتن دارد؛
یΈ احمق سخن مͳگوید چون باید
چیزی بΎوید.
١ .فردی در یΈ زندان است که دو در دارد. ی΋ͳ از درها به
سمت آزادیاست و در دیΎر به سمت مرگ. هر یΈ از درها
یΈ نΎهبان دارد. ی΋ͳ از نΎهبانها راستΎوست که همیشه راست
مͳگوید و دیΎری دروغΎوست که همیشه دروغ مͳگوید. معلوم
نیست که کدام نΎهبان در کنار کدام در ایستاده است. اگر زندانͳ
حق داشته باشد که دو سؤال بله-خیر بپرسد تا راه آزادی را پیدا
کند چه سؤالهایـͳ مͳتواند بپرسد؟ اگر بدانیم که نΎهبان راستΎو
در کنار در آزادی است و حق داشته باشیم که فقط یΈ سؤال
بپرسیم، چه سؤالͳ را مͳتوانیم مطرح کنیم؟
۶ راستΎو، دروغΎو
حل. این شخص مͳتواند به سراغ ی΋ͳ از نΎهبانها برود و از
او بپرسد که آیا دو ضربدر دو، برابر چهار است؟ به این ترتیب
مͳتواند بفهمد که آن نΎهبان راستΎوست یا دروغΎو. اکنون با
پرسیدن سؤال دوم مͳتواند راه آزادی را بیابد.
اما اگر بدانیم که نΎهبان راستΎو در کنار در آزادی ایستاده
است، همین که با سؤال اول بتوانیم تشخیص دهیم که کدام نΎهبان
راستΎوست در حقیقت راه آزادی را هم یافتهایم. ■
٢ .فردی در یΈ زندان است که دو در دارد. ی΋ͳ از درها به
سمت آزادیاست و در دیΎر به سمت مرگ. هر یΈ از درها
یΈ نΎهبان دارد. ی΋ͳ از نΎهبانها راستΎوست که همیشه راست
مͳگوید و دیΎری دروغΎوست که همیشه دروغ مͳگوید. معلوم
نیست که کدام نΎهبان در کنار کدام در ایستاده است. اگر زندانͳ
حق داشته باشد که فقط یΈ سؤال بله-خیر بپرسد تا راه آزادی را
پیدا کند چه سؤالͳ مͳتواند بپرسد؟
حل. این بار مسأله کمͳ سختتر است. دقت کنید که راستΎو
و دروغΎو بودن و آزادی و مرگ برای درها باعث به وجود آمدن
چهار حالت مͳشود و چون سؤال بله-خیر فقط دو حالت مم΋ن را
در پاس΁ دارد، بنابراین زندانͳ نمͳتواند با یΈ سؤال هم راستΎو و
دروغΎو بودن نΎهبانها را تشخیص دهد و هم راه آزادی و مرگ را
شناسایـͳ کند. پس چاره چیست؟ مسأله این است که قرار نیست
زندانͳ ،راستΎو و دروغΎو بودن نΎهبانها را شناسایـͳ کند و همین
که راه را تشخیص دهد کافͳست.
زندانͳ مͳتواند به طرف ی΋ͳ از نΎهبانها برود از ا
منطق؛ ضامن استدلال ٧
را بپرسد: «اگر من از نΎهبان دیΎر بپرسم که راه آزادی این راه
است آیا او مͳگوید بله؟»
اجازه دهید ببینیم چه حالاتͳ مم΋ن است اتفاق بیفتد. مم΋ن
است زندانͳ به سراغ نΎهبان راستΎو رفته باشد. این نΎهبان مͳداند
که نΎهبان دیΎر دروغΎوست و لذا مͳداند که نΎهبان دیΎر پاسخͳ
دروغ خواهد داد. پس این نΎهبان راست مͳگوید که نΎهبان
دیΎر دروغ خواهد گفت و لذا در نهایت پاسخͳ که این نΎهبان به
زندانͳ مͳدهد دروغ است. اما اگر زندانͳ به سراغ نΎهبان دروغΎو
رفته باشد او مͳداند که نΎهبان دیΎر راستΎوست و پاس΁ درست
خواهد داد اما از آنجایـͳ که خودش دروغΎوست، دروغ مͳگوید
که دیΎری راست مͳگوید و لذا در نهایت پاسخͳ که این نΎهبان
به زندانͳ مͳدهد نیز دروغ است. پس در هر حالت پاسخͳ که
زندانͳ دریافت مͳکند دروغ است و در نتیجه باید خلاف آن را در
نظر بΎیرد تا راه آزادی را بیابد. ■
٣ .فردی در یΈ زندان است که دو در دارد. ی΋ͳ از درها به سمت
آزادیاست و در دیΎر به سمت مرگ. این زندان فقط یΈ نΎهبان
دارد که یا راستΎوست و همیشه راست مͳگوید یا دروغΎوست و
همیشه دروغ مͳگوید. اگر زندانͳ حق داشته باشد که فقط یΈ
سؤال بله-خیر بپرسد تا راه آزادی را پیدا کند چه سؤالͳ مͳتواند
بپرسد؟
حل. قبل از پاس΁ به سؤال اجازه دهید ن΋تهای را متذکر شویم.
اگر شما سؤال «آیا دو ضربدر دو، برابر چهار است؟» را از یΈ
راستΎو بپرسید پاس΁ او بله است و اگر همین سؤال را از
٨ راستΎو، دروغΎو
دروغΎو بپرسید پاس΁ او خیر است. اما ببینیم این دو نفر در برابر
سؤال «اگر از تو بپرسم که آیا دو ضربدر دو، برابر چهار است، آیا
تو مͳگویـͳ بله؟» چه ع΋سالعملͳ نشان مͳدهند. فرد راستΎو
در برابر این سؤال پاس΁ مͳدهد بله، اما ن΋تۀ جالب این است فرد
دروغΎو هم در برابر این سؤال پاس΁ بله مͳدهد! شما در حقیقت از
او مͳخواهید که پاس΁ دهد که بعداً در برابر سؤال «آیا دو ضربدر
دو، برابر چهار است؟» چه پاسخͳ خواهد داد و چون او تصمیم
دارد دروغ بΎوید که بعداً دروغ خواهد گفت لذا مجبور است که
راست بΎوید و پاس΁ او بله است. بنابراین ع΋سالعمل راستΎو و
دروغΎو در برابر سؤالهایـͳ به صورت «اگر از تو بپرسم … آیا تو
مͳگویـͳ بله؟» ی΋سان خواهد بود و هر دو نفر جواب درست به
چنین سؤالهایـͳ مͳدهند. این ترفند کمΈ مͳکند که بین راستΎو
و دروغΎو تفاوتͳ وجود نداشته باشد.
با این توضیحات، زندانͳ مͳتواند به سراغ نΎهبان برود و از او
بپرسد «اگر از تو بپرسم راه آزادی این است آیا تو مͳگویـͳ بله؟»
و با اطمینان کامل مͳتواند به پاسخͳ که نΎهبان خواهد داد اعتماد
کند چون او در هر صورت راست خواهد گفت؛ چه راستΎو باشد
و چه دروغΎو. ■
۴ .در جزیرۀ آدمخورها سه نفر زندگͳ مͳکنند که ی΋ͳ از آنها
راستΎوست و همیشه راست مͳگوید، دیΎری دروغΎوست و همیشه
دروغ مͳگوید و سومͳ تبه΋ار است که گاهͳ اوقات راست مͳگوید
و گاهͳ اوقات دروغ. این سه نفر از هویت ی΋دیΎر آ گاه هستند.
شما اجازه دارید از این افراد چهار سؤال بله-خیر بپرسید و
منطق؛ ضامن استدلال ٩
آنها را مشخص کنید. چΎونه این کار را انجام مͳدهید؟
حل. سؤال «آیا دو ضربدر دو، برابر چهار است؟» را از هر سه نفر
آنها مͳپرسیم. اگر بله را با علامت + و خیر را با علامت − نشان
دهیم مم΋ن است ی΋ͳ از حالتهای زیر در پاس΁ ما اتفاق بیفتد.
+ + +, + + −, + − +, + − −, − + +, − − +, − + −, − − −
اما دو حالت + + + و − − − هرگز اتفاق نخواهد افتاد چون
بالاخره در این بین ی΋ͳ از آنها باید راست بΎوید و ی΋ͳ دروغ.
حال اگر هر یΈ از شش حالت دیΎر پیش بیاید، همیشه ی΋ͳ از
این سه نفر متفاوت با دو نفر دیΎر پاس΁ خواهد داد و هویت این
یΈ نفر قابل تشخیص است. مثلا̈ اگر حالت + − + پیش بیاید
آنΎاه حتماً نفر وسط دروغΎوست چون اگر این شخص دروغΎو
نباشد (فرض خلف) پس کدام یΈ از آن دو نفر دیΎر که هر دو
پاس΁ بله دادهاند مͳتوانند دروغΎو باشند؟
بنابراین با پرسیدن سه سؤال از این سه نفر و گرفتن پاس΁،
مͳتوانیم فردی را بیابیم که حتماً راستΎوست یا فردی را بیابیم که
حتماً دروغΎوست. اکنون با استفاده از این فرد مͳتوانیم هویت آن
دو نفر دیΎر را با تنها یΈ سؤال اضافͳ تعیـین کنیم. مثلا̈ فرض
کنید فردی که یافتهایم دروغΎوست. اکنون از این فرد در مورد
ی΋ͳ از آن دو نفر مͳپرسیم که آیا او راستΎوست. اگر پاس΁ او بله
بود، مطمئناً آن فرد، تبه΋ار و دیΎری راستΎوست و اگر پاس΁ او
خیر بود، مطمئناً آن فرد، راستΎو و دیΎری تبه΋ار است. ■
۵ .در جزیرۀ آدمخورها سه نفر زندگͳ مͳکنند که ی΋ͳ از آنها
راستΎوست و همیشه راست مͳگوید، دیΎری دروغΎوست و هم
١٠ راستΎو، دروغΎو
دروغ مͳگوید و سومͳ تبه΋ار است که گاهͳ اوقات راست مͳگوید
و گاهͳ اوقات دروغ. این سه نفر از هویت ی΋دیΎر آ گاه هستند.
شما اجازه دارید از این افراد سه سؤال بله-خیر بپرسید و هویت
آنها را مشخص کنید. چΎونه این کار را انجام مͳدهید؟
حل. فرض کنیم این سه نفر A ،B و C باشند. ابتدا از A مͳپرسیم:
«اگر من از تو بپرسم B تبه΋ار است آیا تو مͳگویـͳ بله؟»
اگر پاس΁ دهد بله، نتیجه مͳگیریم که C تبه΋ار نیست چون
اگر فرض کنیم C تبه΋ار باشد (فرض خلف) آنΎاه A راستΎو یا
دروغΎوست و چنین فردی به سؤال ما جواب درست مͳدهد و لذا
درست گفته که B تبه΋ار است که با فرض خلف ما در تناقض
است.
اگر پاس΁ دهد خیر، نتیجه مͳگیریم که B تبه΋ار نیست چون
اگر فرض کنیم B تبه΋ار باشد (فرض خلف) آنΎاه A راستΎو یا
دروغΎوست و چنین فردی به سؤال ما جواب درست مͳدهد و لذا
درست گفته که B تبه΋ار نیست که با فرض خلف ما در تناقض
است.
بنابراین با یΈ سؤال، فردی را مͳیابیم که تبه΋ار نیست.
اکنون از این فرد سؤال «آیا دو ضربدر دو، برابر چهار است؟»
را مͳپرسیم و مͳتوانیم بفهمیم که او راستΎوست یا دروغΎو. لذا
با دو سؤال، فردی را یافتهایم که یا قطعاً راستΎوست و یا قطعاً
دروغΎو. اکنون با پرسیدن یΈ سؤال دیΎر، به مانند سؤال چهارم
مسألۀ قبلͳ ،مͳتوانیم هویت هر دو نفر دیΎر را تعیـین کنیم. ■
۶ .فردی به جزیرۀ آدمخورها رفته و گرفتار آنها شده است. رئی
منطق؛ ضامن استدلال ١١
قبیله به او مͳگوید: «تو حق داری یΈ جمله بΎویـͳ .اگر جملۀ
تو راست باشد ما تو را کباب مͳکنیم و مͳخوریم و اگر جملۀ تو
دروغ باشد ما تو را آبپز مͳکنیم و مͳخوریم.» او چه جملهای
بΎوید تا از دست آنها نجات یابد؟
حل. او مͳتواند به رئیس قبیله بΎوید که «شما مرا آبپز مͳکنید.»
اکنون اگر این جمله راست باشد طبق قانونͳ که رئیس قبیله گفته
آنها باید او را کباب کنند که باعث مͳشود جملۀ او دروغ از آب
در بیاید و لذا حق این کار را ندارند و اگر این جمله دروغ باشد
طبق قانون، آنها باید او را آبپز کنند که باعث مͳشود جمله راست
باشد و متناقض با دروغ بودن جملۀ وی است. پس آنها هیͿ کاری
نمͳتوانند ب΋نند. ■
٧ .دور یΈ میز گرد ۶٠ جن و پری نشستهاند اما نمͳدانیم چند
تا از آنها جن است و چند تا پری. جنها همیشه دروغ مͳگویند و
پریها همیشه راست مͳگویند. هر یΈ از افراد دور میز مͳگوید
یΈ طرف او جن نشسته است و طرف دیΎر پری. این افراد به چه
ش΋لͳ دور میز نشستهاند؟
حل. مسأله دو حالت دارد. حالت اول این است که همۀ افراد
دور میز جن باشند. در این صورت همͳΎ دروغ مͳگویند و این
حالت ام΋انپذیر است.
حالت دوم این است که حداقل یΈ پری در بین آنها وجود
داشته باشد. در این صورت نمͳتوانیم دو جن کنار هم داشته باشیم.
زیرا اگر فرضکنیم که دو جن در کنار ی΋دیΎر نشسته باشند (فرض
خلف) آنΎاه آخرین جن در این گروه را در نظر مͳگیر
١٢ راستΎو، دروغΎو
باید یΈ پری در کنار او نشسته باشد چون این آخرین جن̥ این
گروه کنار هم است. از طرفͳ نفر قبل از این جن نیز باید جن باشد
چون حداقل دو جن در این گروه وجود دارد. به این ترتیب آخرین
جن این گروه راست مͳگوید که یΈ طرف او جن است و یΈ
طرفش پری و این ام΋ان ندارد چون جنها دروغΎو هستند. لذا
نتیجه مͳگیریم که در این حالت هیͿگاه نمͳتوانیم دو جن کنار
هم داشته باشیم. از سوی دیΎر پریها باید دو نفر دو نفر در کنار
هم بنشینند چون در غیر این صورت پری دروغΎو به وجود مͳآید
که ام΋ان ندارد. لذا افراد دور میز از گروههای سه نفری تش΋یل
شدهاند که یΈ نفر از آنها جن است و دو نفر پری. در نتیجه دور
میز ٢٠ جن و ۴٠ پری نشستهاند. ■
٨ .دور یΈ میز گرد ۶٠ جن و پری نشستهاند اما نمͳدانیم چند
تا از آنها جن است و چند تا پری. جنها همیشه دروغ مͳگویند و
پریها همیشه راست مͳگویند. هر یΈ از افراد دور میز مͳگوید
یΈ طرف او جن نشسته است و طرف دیΎر پری. آیا ام΋ان دارد
که ی΋ͳ از پریها اشتباه کرده باشد؟
حل. اثبات مͳکنیم که این حالت ام΋ان ندارد. قبل از آن لازم
است ن΋تهای توضی΀ داده شود. نمͳتوان گفت چون ی΋ͳ از پریها
اشتباه کرده پس او دروغΎوست و لذا جن است. مسأله این است
که از دید افراد دیΎر، این پری واقعاً یΈ پری است و چون اشتباه
کرده یا دروغ گفته، آنها او را به دید یΈ جن نΎاه نمͳکنند و
وقتͳ فرد کناری او ادعا مͳکند که یΈ طرفش پری نشسته است
با احتساب این که این پری واقعاً پری است این حر
منطق؛ ضامن استدلال ١٣
بنابراین باید توجه کنید که این پری اشتباهکار از دید بقیه پری
است و نه جن.
اما ببینیم پری اشتباهکار چΎونه مم΋ن است به وجود بیاید.
مم΋ن است دو طرف این پری، دو پری نشسته باشند یعنͳ او در
یΈ گروه متش΋ل از سه پری باشد یا این که دو طرف این پری،
دو جن نشسته باشند. بنابراین با توجه به مسألۀ قبل و توضیحͳ
که هماکنون داده شد مͳتوان گفت که افراد دور میز از گروههای
سه نفری جن، پری، پری و یΈ گروه استثنایـͳ تش΋یل شدهاند که
این گروه استثنایـͳ به صورت جن، پری و یا به صورت جن، پری،
پری، پری مͳباشد. پس این ۶٠ نفر از چند گروه ٣ نفری و یΈ
گروه ٢ یا ۴ نفری تش΋یل شدهاند. لذا ۲ − ۶۰ یا ۴ − ۶۰ باید
مضرب ٣ باشد که ام΋ان ندارد. ■
٩ .دور یΈ میز گرد ۶٠ جن و پری نشستهاند اما نمͳدانیم چند
تا از آنها جن است و چند تا پری. جنها همیشه دروغ مͳگویند و
پریها همیشه راست مͳگویند. هر یΈ از افراد دور میز مͳگوید
یΈ طرف او جن نشسته است و طرف دیΎر پری. آیا ام΋ان دارد
که دو تا از پریها اشتباه کرده باشند؟ چΎونه؟
حل. پریهای اشتباهکار به دو ش΋ل مم΋ن است قرار گرفته
باشند: جدا از هم یا در کنار هم.
اگر این دو پری در کنار هم باشند باید حتماً به ش΋ل جن، پری،
پری، پری، پری ظاهر شده باشند. پس این ۶٠ نفر از گروههای
جن، پری، پری و یΈ گروه استثنایـͳ ۵ نفری تش΋یل شده است
که چون ۵ − ۶۰ مضرب ٣ نیست این حالت
١۴ راستΎو، دروغΎو
اگر این دو پری در کنار هم نباشند مم΋ن است سه حالت به
وجود بیاید: گروههای ٣ نفری و دو گروه جن، پری که ام΋ان
ندارد. گروههای ٣ نفری و دو گروه جن، پری، پری، پری که
ام΋ان ندارد. گروههای ٣ نفری به ش΋ل جن، پری، پری و یΈ
گروه جن، پری و یΈ گروه جن، پری، پری، پری که این حالت
ام΋ان دارد. در این حالت ٢٠ جن و ۴٠ پری داریم. ■
١٠ .دانشآموزان یΈ کلاس ٢۵ نفر هستند و در یΈ صف در
کنار هم روبروی ما به ش΋ل
۱,۲,۳,۴, . . . , ۲۵
ایستادهاند. نفر شمارۀ ١ مͳگوید: «همۀ افراد با شمارههای ٢
تا ٢۵ دروغΎو هستند.» هر یΈ از افراد دوم تا بیست و پنجم
مͳگوید: «نفری که شمارهاش قبل از من است دروغΎوست.»
چند دروغΎو در این کلاس وجود دارد؟
حل. اجازه دهید در ابتدا ببینیم که خود نفر شمارۀ ١ راستΎوست
یا دروغΎو. ادعا مͳکنیم این فرد دروغΎوست چون اگر راستΎو
باشد (فرض خلف) آنΎاه با توجه به گفتۀ او باید نفر دوم و نفر
سوم دروغΎو باشند و در نتیجه نفر سوم راست مͳگوید که نفر دوم
دروغΎوست و لذا نفر سوم نمͳتواند دروغΎو باشد.
اکنون که فهمیدیم نفر اول دروغΎو است پس نفر دوم راست
مͳگوید که او دروغΎوست و در نتیجه نفر سوم دروغΎوست و
به همین ترتیب نفرات شمارهٔ فرد دروغΎو هستند. پس ١٣ تا
دروغΎو در کلاس
منطق؛ ضامن استدلال ١۵
١١ .من دو س΋ه در دستم دارم که ی΋ͳ از آنها س΋ۀ طلاست و
دیΎری س΋ۀ نقره. شما مͳتوانید این دو س΋ه را در دست من
ببینید و حق دارید یΈ جملۀ خبری به من بΎویـید. اگر جملۀ شما
راست باشد من ی΋ͳ از س΋هها را به عنوان جایزه با انتخاب خودم
به شما مͳدهم و اگر جملۀ شما دروغ باشد من هیͿ س΋های به شما
نمͳدهم. شما چه جملهای مͳگویـید که من مجبور شوم س΋ۀ طلا
را به شما بدهم؟
حل. شما مͳتوانید این جمله را به من بΎویـید: «تو س΋ۀ نقره را
به من نمͳدهͳ «.در این صورت دو حالت به وجود مͳآید.
حالت اول. جملۀ شما دروغ باشد. در این حالت چون جملۀ
شما دروغ است پس من نباید هیͿ س΋های به شما بدهم اما اگر
این طور باشد آنΎاه چون من هیͿ س΋های به شما ندادهام پس شما
راست گفتهاید که من س΋ۀ نقره را به شما نمͳدهم. در نتیجه شما
راست گفتهاید و این اشتباه است که جملۀ شما دروغ است. پس
این حالت هرگز اتفاق نمͳافتد.
حالت دوم. جملۀ شما راست باشد. در این حالت من باید
ی΋ͳ از س΋ههایم را به عنوان جایزه به شما بدهم. اما من نمͳتوانم
س΋ۀ نقره را به شما بدهم چون این کار من باعث مͳشود که جملۀ
شما دروغ باشد و در نتیجه من نباید س΋های به شما بدهم و اگر
س΋های به شما ندهم جملۀ شما راست مͳشود و من باید س΋های به
شما بدهم. پس من مجبور مͳشوم که حتماً س΋ۀ طلا را به عنوان
جایزه به شما بدهم. ■
١٢ .چهار نفر با نامهای A ،B ،C و D در مور
١۶ راستΎو، دروغΎو
توضیحاتͳ مͳدهند. A مͳگوید: «n دو رقمͳ است.» B مͳگوید:
«n مقسومعلیهͳ از ١۵٠ است.» C مͳگوید: «n خود ١۵٠
نیست.» D مͳگوید: «n مضربͳ از ٢۵ است.» اگر بدانیم تنها
یΈ نفر از این افراد دروغ مͳگوید، این شخص کدام یΈ از این
افراد است؟
حل. A نمͳتواند دروغΎو باشد چون اگر چنین نباشد (فرض
خلف) در این صورت چون سه نفر دیΎر راست مͳگوید پس n باید
مقسومعلیهͳ از ١۵٠ باشد که دو رقمͳ نیست و چون مضرب ٢۵
است پس باید سه رقمͳ باشد و تنها عدد سه رقمͳ که مقسومعلیه
١۵٠ است خود ١۵٠ مͳشود که باعث دروغΎو شدن C خواهد
شد و لذا این حالت ام΋ان ندارد.
B نمͳتواند دروغΎو باشد چون اگر چنین نباشد (فرض خلف)
در این صورت چون سه نفر دیΎر راست مͳگوید پس n باید عددی
دو رقمͳ و مضربͳ از ٢۵ باشد که فقط ٢۵ ،۵٠ و ٧۵ مͳتواند
باشد که در هر حالت مقسومعلیهͳ از ١۵٠ است و در این صورت
B راستΎو خواهد شد. پس این حالت نیز ام΋ان ندارد.
C نمͳتواند دروغΎو باشد چون اگر چنین نباشد (فرض خلف)
n باید خود ١۵٠ باشد و در این صورت A نیز دروغΎو خواهد شد
و لذا دو نفر دروغΎو هستند که ام΋ان ندارد.
با این توضیحات فقط D مͳتواند دروغΎو باشد. برای این که
ببینیم چنین حالتͳ مͳتواند وجود داشته باشد کافͳست n را برابر
١٠ در نظر بΎیریم. ■
١٣ .چهار نفر با نامهای A ،B ،C و D در اتاقͳ مشغول توپ
منطق؛ ضامن استدلال ١٧
هستند که ناگهان توپ به یΈ گلدان گران قیمت اصابت مͳکند و
آن را مͳش΋ند. A مͳگوید: این کار من نبود! B مͳگوید: تقصیر
D بود! C مͳگوید: نه! تقصیر خود B بود! D مͳگوید: B دروغ
مͳگوید! اگر بدانیم تنها یΈ نفر از این افراد راست مͳگوید،
آنΎاه چه کسͳ گلدان را ش΋سته است؟
حل. D نمͳتواند دروغ گفته باشد چون اگر D دروغ گفته باشد
(فرض خلف) در این صورت B راست گفته است، پس تقصیر
D بوده و لذا A هم راست مͳگوید که گلدان را نش΋سته است و
در نتیجه ما دو راستΎو داریم که ام΋ان ندارد.
پس D راست گفته و سه نفر دیΎر دروغ گفتهاند. در نتیجه A
دروغ گفته و گلدان را او ش΋سته است. ■
١۴ .در کلاس شما تعدادی دانشآموز حضور دارند که بعضͳ از
آنها همیشه راست مͳگویند و بعضͳ همیشه دروغ. شما روز دوشنبه
را غایب بودهاید و معلم در کلاس گفته است که سهشنبه امتحان
مͳگیرد یا نه. سهشنبه صب΀ ی΋ͳ از هم΋لاسͳهای خود را مͳبینید.
نمͳدانید او در دستۀ راستΎوهاست یا دروغΎوها. حق دارید فقط
یΈ سؤال از او بپرسید تا بفهمید امتحان برگزار مͳشود یا نه. شما
چه سؤالͳ مͳپرسید؟
حل. مͳتوانیم از او بپرسیم «اگر من از تو بپرسم که معلم گفته
است که امروز امتحان مͳگیرد آیا تو مͳگویـͳ بله؟» در این صورت
چه او راستΎو باشد و چه دروغΎو مجبور است که جواب درست
را به شما بدهد چون اگر راستΎو باشد که در هر صورت جواب
درست را به شما مͳدهد و اگر دروغΎو باشد از آنجایـͳ که
١٨ راستΎو، دروغΎو
مͳگوید که در برابر سؤالͳ که قرار است شما از او بپرسید دروغ
خواهد گفت پس مجبور است که راست بΎوید. (دقت کنید که
شما سؤال اصلͳ در مورد امتحان را نپرسیدهاید و به او گفتهاید که
اگر من از تو بپرسم چه جوابͳ خواهͳ داد.) ■
١۵ .چند تا از جملات زیر مͳتواند درست باشد؟
آ. تعداد جملات نادرست در اینجا برابر ۱ است.
ب. تعداد جملات نادرست در اینجا برابر ۲ است.
ج. تعداد جملات نادرست در اینجا برابر ۳ است.
د. تعداد جملات نادرست در اینجا برابر ۴ است.
حل. ام΋ان ندارد که بیش از یΈ جمله از بین این چهار جمله
درست باشد چون هر دو جملهای که از بین آنها در نظر بΎیریم در
تناقض با ی΋دیΎر مͳباشند. پس تنها یΈ جمله درست است و آن
هم جملۀ سوم است
٣
وزنهها، س΋هها، ترازو
کانتور: در ریاضیات، هنر مطرح کردن
یΈ سؤال باید از ارزش بیشتری نسبت به
حل آن برخوردار باشد.
١۶ .ما ٨١ س΋ۀ یΈ ش΋ل و یΈ اندازه داریم که ی΋ͳ از آنها
تقلبͳ است. مͳدانیم س΋ۀ تقلبͳ از س΋ههای سالم سنΎینتر است.
یΈ ترازوی دو کفهای داریم و مͳخواهیم با استفاده از این ترازو
س΋ۀ تقلبͳ را پیدا کنیم. حداقل چند بار از ترازو استفاده مͳکنید؟
چΎونه؟
حل. افراد زیادی را دیدهام که در پاس΁ این سؤال مͳگویند:
«یΈ بار!» و بعد زیر لب اضافه مͳکنند: «اگر شانس بیاوریم.»
مطمئناً همه مͳدانند که وقتͳ چنین سؤالͳ مطرح مͳشود منظور
این است که تحت هر شرایطͳ و بدون دخالت دادن شانس چند
بار به ترازو احتیاج دارید. شما باید کلیۀ حالات مم΋ن را در ن
٢٠ وزنهها، س΋هها، ترازو
بΎیرید و روش شما باید طوری باشد که اگر نتیجۀ توزین اول هر
چه شد، راهͳ برای ادامۀ کار و به نتیجه رسیدن را پیشنهاد کند.
مم΋ن است تصمیم بΎیرید که ی΋ͳ از س΋هها را کنار بΎذارید
و بعد ٨٠ س΋ه را به دو دستۀ ۴٠ تایـͳ تقسیم کنید و آنها را روی
ترازو بΎذارید و اگر ترازو به حالت متعادل قرار نΎرفت به دنبال
پیدا کردن س΋ۀ تقلبͳ در کفۀ سنΎینتر باشید. این روش خوبͳ
است ولͳ توجه کنید که مامͳخواهیم حداقل تعداد استفاده از
ترازو را به کار ببریم.
در ابتدا باید ببینیم بهتر است س΋هها به چند دسته تقسیم شوند.
اگر س΋هها را به ۴ دسته یا بیشتر تقسیم کنیم، دو دسته از آنها را
روی دو کفه مͳگذاریم و بقیه دستهها را باید کنار قرار دهیم. در
این صورت دیΎر فرقͳ نمͳکند که س΋ههای کنار گذاشته شده را
در یΈ دسته کنار بΎذاریم یا آنها را در چند دسته قرار دهیم. مهم
این است که آن س΋هها فعلا̈ کنار گذاشته شدهاند. بنابراین بهترین
کار این است که فعلا̈ س΋هها را به سه دسته تقسیم کنیم. اما هر
یΈ از این سه دسته باید حاوی چند س΋ه باشند؟ بدیهͳست که
دو دستهای که روی ترازو قرار داده مͳشوند باید دارای تعداد س΋ۀ
ی΋سانͳ باشند وگرنه از نتیجۀ این توزین چیزی عایدمان نخواهد
شد. حال فرض کنیم س΋هها به دو دستۀ n تایـͳ و یΈ دستۀ
m تایـͳ تقسیم شده باشند و ترازو به حالت تعادل قرار گیرد. در
این صورت ما به ی΋ͳ از m س΋ۀ دستۀ سوم مش΋وک مͳشویم و باید
کارمان را روی آن دسته ادامه دهیم. همچنین اگر ترازو به حالت
تعادل قرار نΎیرد ما به ی΋ͳ از n س΋های که در دستۀ سنΎینتر
است مش΋وک خواهیم شد. لذا در هر صورت م
منطق؛ ضامن استدلال ٢١
روی ی΋ͳ از دستههای m س΋های یا n س΋های ادامه دهیم. اگر
m < n و ترازو به حالت تعادل بایستد ما به تعداد بیشتری س΋ه
مش΋وک مͳشویم و اگر m > n و ترازو به حالت تعادل نایستد نیز
ما باید به سراغ تعداد بیشتری س΋ه برویم. پس بهترین کار برای آن
که در بدترین حالت مم΋ن نیز تعداد استفاده از ترازو را به حداقل
برسانیم این است که n و m را برابر در نظر بΎیریم تا مطمئن باشیم
که هر حالتͳ پیش بیاید ضرر نخواهیم کرد. از این رو بهترین کار
این است که س΋هها را به ٣ دستۀ ٢٧ س΋های تقسیم کنیم و دو
دسته از آنها را در ترازو قرار دهیم. بدین ترتیب نتیجۀ توزین ما هر
چه باشد ما به ٢٧ س΋ه مش΋وک خواهیم شد. با همین استدلال
پس از توزین دوم نیز ما به ٩ س΋ه مش΋وک مͳشویم و توزین سوم،
ما را به ٣ س΋ه مͳرساند و لذا در توزین چهارم س΋ۀ تقلبͳ پیدا
خواهد شد. توجه کنید که استدلال ما نشان مͳدهد که با کمتر از
۴ توزین در حالت کلͳ به نتیجه نخواهیم رسید. ■
١٧ .ما دوازده س΋ه داریم که ی΋ͳ از آنها تقلبͳاست و وزنش
با بقیه فرق دارد. نمͳدانیم که این س΋ۀ تقلبͳ سبΈتر است یا
سنΎینتر. یΈ ترازوی دو کفهای داریم و مͳخواهیم با سه بار
استفاده از ترازو س΋ۀ تقلبͳ را پیدا کنیم و به علاوه بΎویـیم که
س΋ۀ تقلبͳ سبΈتر است یا سنΎینتر. چΎونه این کار را انجام
دهیم؟
حل. در ابتدا باید ببینیم بهتر است چند س΋ه را روی ترازو بΎذاریم
و چند س΋ه را کنار قرار دهیم. به نظر مͳرسد اگر در هر کفه
۴ س΋ه قرار دهیم، بهترین کار را انجام دادهایم چون
٢٢ وزنهها، س΋هها، ترازو
س΋ههای روی یΈ کفه بیشتر از ۴ تا باشد و ترازو به حالت تعادل
قرار نΎیرد آنΎاه دیΎر نمͳتوانیم با دو توزین باقیمانده به هدف
خود برسیم و اگر تعداد س΋ههای روی یΈ کفه کمتر از ۴ س΋ه
باشد و ترازو به حالت تعادل قرار گیرد آنΎاه دیΎر نمͳتوانیم با دو
توزین باقیمانده به نتیجه برسیم. بنابراین س΋هها را به سه دستۀ ۴
تایـͳ تقسیم مͳکنیم و دو دسته را روی ترازو مͳگذاریم. س΋ههای
روی کفهها را با H, G, F, E, D, C, B, A نمایش مͳدهیم و ۴ س΋ۀ
باقیمانده را L, K, J, I مͳنامیم. اکنون دو حالت پیش مͳآید.
حالت اول. فرض کنیم ترازو به حالت تعادل قرار گیرد.
اکنون مͳدانیم که س΋ۀ تقلبͳ در دستۀ سوم است. حال K, J, I
را در یΈ کفه و C, B, A را در کفۀ دیΎر قرار مͳدهیم. اگر
تعادل برقرار شد، L تقلبͳ است و با مقایسۀ آن با یΈ س΋ۀ سالم
در توزین سوم به نتیجه مͳرسیم. اما اگر تعادل برقرار نشد و مثلا̈
ABC < IJK آنΎاه مͳفهمیم که س΋ۀ تقبلͳ سبΈتر است. حال
در توزین سوم I و J را با هم مقایسه مͳکنیم. اگر مساوی بودند K
تقلبͳ است و در غیر این صورت س΋های که سبΈتر است تقلبͳ
مͳباشد.
حالت دوم. فرض کنیم ترازو به حالت تعادل قرار نΎیرد و
مثلا̈ GH EF < ABCD .در این صورت مͳفهمیم که س΋ۀ تقلبͳ
ی΋ͳ از همین ٨ س΋ه است. در توزین دوم E, B, A را در یΈ
طرف و F, D, C را در طرف دیΎر قرار مͳدهیم. اگر تعادل برقرار
شود مͳفهمیم س΋ۀ تقلبͳ ی΋ͳ از G یا H است و با توجه به توزین
دوم اکنون مͳتوانیم بفهمیم که س΋ۀتقلبͳ سنΎینتر مͳباشد. حال
G و H را با هم مقایسه مͳکنیم و هر کدام سنΎینت
منطق؛ ضامن استدلال ٢٣
است.
اما اگر در توزین دوم تعادل برقرار نشد و برای مثال حالت
CDF < ABE پیش آمد، آنΎاه مͳتوانیم نتیجه بΎیریم که س΋ههای
E ،C و D نمͳتوانند تقلبͳ باشند چون اگر مثلا̈ E تقلبͳ باشد
(فرض خلف) پس چرا در توزین اول باعث سنΎینشدن کفه
شده بود و در توزین دوم باعث شد که کفه سبΈتر شود؟ پس
ما اکنون به س΋ههای A ،B و F مش΋وک هستیم. حال A و B
را با هم مقایسه مͳکنیم. اگر تعادل برقرار شد F تقلبͳ است و
سنΎینتر و اگر تعادل برقرار نشد آنΎاه س΋های که سبΈتر است
تقلبͳ مͳباشد چون توزین اول نشان مͳدهد که تقلبͳ بودن هر یΈ
از این دو س΋ه به دلیل سبΈتر بودن آنهاست. ■
١٨ .ما ۴٠٠ س΋ه داریم که دو تا از آنها تقلبͳاست و بقیه سالم
هستند. ی΋ͳ از س΋ههای تقلبͳ سبΈتر از س΋ههای سالم است و
دیΎری سنΎینتر. مͳخواهیم با استفاده از یΈ ترازوی دو کفهای
بررسͳ کنیم که مجموع دو س΋ۀ تقلبͳ برابر با مجموع دو س΋ۀ سالم
است یا کمتر از آن یا بیشتر از آن. دقت کنید که ما نمͳخواهیم
س΋ههای تقلبͳ را پیدا کنیم و فقط مͳخواهیم مجموع آنها را با
مجموع دو س΋ۀ سالم مقایسه کنیم. حق داریم چهار بار از ترازو
استفاده کنیم. چΎونه این کار را انجام دهیم؟
حل. ابتدا س΋هها را به ۴ دستۀ ١٠٠ تایـͳ تقسیم مͳکنیم. سپس
دستۀ اول و دوم را با هم مقایسه مͳکنیم و بعد از آن دستۀ سوم و
چهارم را با هم مقایسه مͳکنیم. نتیجۀ این دو توزین ی΋ͳ از سه
حا
٢۴ وزنهها، س΋هها، ترازو
حالت اول. هر دو توزین به حالت تعادل مͳایستد. در این
صورت جم دو س΋ۀ تقلبͳ برابر جم دو س΋ۀ سالم است.
حالت دوم. ی΋ͳ از توزینها به حالت تعادل است و دیΎری
نامتعادل است. در این صورت دو س΋ۀ تقلبͳ در دو دستهای قرار
دارند که توزین آنها نامتعادل است. اکنون این دو دسته را روی هم
مͳگذاریم و در یΈ کفه قرار مͳدهیم و دو دستۀ دیΎر را روی هم
مͳگذاریم و در کفۀ دیΎر قرار مͳدهیم و پاس΁ سؤال را به دست
مͳآوریم.
حالت سوم. هر دو توزین به حالت نامتعادل مͳایستد. مثلا̈
فرض کنید دستۀ اول از دوم سبΈتر باشد و دستۀ سوم نیز از دستۀ
چهارم سبΈتر. در این صورت دو دستۀ سبΈ توزینها (یعنͳ
دستۀ اول و سوم) را با هم مقایسه مͳکنیم. هر دستهای که سبΈتر
بود س΋ۀ تقلبͳ سبΈ در آن قرار دارد. مثلا̈ فرض کنیم دستۀ اول
از دستۀ سوم سبΈتر باشد. اکنون مͳفهمیم که س΋ۀ تقلبͳ سنΎین
نیز در دستهٔ چهارم قرار دارد. چون اگر س΋ۀ تقلبͳ سنΎین در
دستۀ چهارم نباشد (فرض خلف) آنΎاه باید در دستۀ دوم یا سوم
باشد. اما اگر س΋ۀ تقلبͳ سنΎین در دستۀ دوم مͳبود آنΎاه دو دستۀ
سوم و چهارم شامل س΋ههای سالم مͳبودند و در نتیجه توزین دوم
به صورت تعادل مͳایستاد که خلاف فرض این حالت است. ما
در این حالت فرض کرده بودیم که هر دو توزین نامتعادل باشد.
همچنین اگر س΋ۀ تقلبͳ سنΎیندر دستۀ سوم مͳبود آنΎاه باید در
توزین دوم دستۀ سوم سنΎینتر از دستۀ چهارم مͳشد ولͳ ما فرض
کرده بودیم که در توزین دوم دستۀ سوم از چهارم سبΈتر شده
است. در نتیجه اکنون مͳدانیم که س΋ۀ تقلبͳ سبΈد
منطق؛ ضامن استدلال ٢۵
و س΋ۀ تقلبͳ سنΎین در دستۀ چهارم است. حال دستۀ اول و چهارم
را در یΈ کفه و دستۀ دوم و سوم را در کفهای دیΎر قرار مͳدهیم
و با هم مقایسه مͳکنیم و جواب سؤال را به دست مͳآوریم. ■
١٩ .ما ١٠٠ کیسه داریم که در هر کدام آنها ١٠٠ س΋ه قرار دارد.
تمام س΋ههای ی΋ͳ از کیسهها تقلبͳ است و بقیۀ کیسههای حاوی
س΋ههای سالم است. س΋ههای سالم ١٠ گرمͳ هستند و س΋ههای
تقلبͳ یا همͳΎ ٩ گرمͳ هستند یا ١١ گرمͳ .ما یΈ ترازوی
عقربهای داریم و مͳخواهیم فقط با یΈ بار استفاده از ترازو بفهمیم
که س΋ههای کدام کیسه تقلبͳ است و به علاوه مشخص کنیم که
س΋ههای تقلبͳ همͳΎ ٩ گرمͳ هستند یا همͳΎ ١١ گرمͳ .چΎونه
این کار را انجام دهیم؟
حل. ابتدا ١ س΋ه از کیسۀ اول، ٢ س΋ه از کیسۀ دوم، …
و ١٠٠ س΋ه از کیسۀ صدم بر مͳداریم و همͳΎ را روی ترازو
مͳگذاریم. اکنون اگر همͳΎ س΋هها سالم مͳبودند آنΎاه ترازو
باید عدد ۵۰۵۰۰ گرم را نشان مͳداد که برابر است با مجموع
اعداد ١ تا ١٠٠ ضربدر ١٠ گرم. ولͳ مͳدانیم که س΋ههای ما
همͳΎ سالم نیستند و لذا ترازو این عدد را نشان نمͳدهد. حال
به عددی که ترازو نشان مͳدهد نΎاه مͳکنیم. اگر مثلا̈ ٣٧ گرم
بیشتر از ۵٠۵٠٠ را نشان داد مͳفهمیم که کیسۀ سͳو هفتم حاوی
س΋ههای تقلبͳ بوده و س΋ههای تقلبͳ ١١ گرمͳ هستند. اما اگر
مثلا̈ ۴٢ گرم کمتر از ۵٠۵٠٠ را نشان داد مͳفهمیم که کیسۀ
چهل و دوم حاوی س΋ههای تقلبͳ بوده و س΋ههای تقلبͳ ٩ گرمͳ
هستند. به این ترتیب از روی میزان اختلاف عدد
٢۶ وزنهها، س΋هها، ترازو
عدد واقعͳ مͳتوانیم بفهمیم که کدام کیسه تقلبͳ بوده و س΋ههای
آن ٩ گرمͳ بودهاند یا ١١ گرمͳ■ .
٢٠ .ما ٣٢ وزنه با وزنهای مختلف و یΈ ترازوی دو کفهای
داریم. مͳ خواهیم وزنهای را که از همه سنΎینتر است پیدا کنیم.
چند بار باید از ترازو استفاده کنیم؟
حل. یΈ راه برای انجام این کار این است که وزنۀ اولͳ را با
دومͳ مقایسه کنیم و بعد وزنهای که سنΎینتر است را با وزنۀ سومͳ
مقایسه کنیم و سپس وزنۀ سنΎینتر را با وزنۀ چهارمͳ مقایسه کنیم
و این کار را تا وزنۀ سͳ و دوم ادامه دهیم که در نتیجه با ٣١ بار
استفاده از ترازو به هدف مͳرسیم.
اما این کار با کمتر از ٣١ بار استفاده از ترازو ام΋انپذیر
نیست چون برای آن که اثبات کنیم وزنهای که یافتهایم از همه
سنΎینتر است باید با هر یΈ از وزنههای دیΎر (که تعداد آنها
٣١ وزنه است) مقایسه شده باشد و این کار به ٣١ بار استفاده از
ترازو احتیاج دارد. توجه کنید که حتͳ اگر در مقایسههای صورت
گرفته بیش از یΈ وزنه را روی یΈ کفه قرار دهیم باز هم برای
اثبات این که وزنۀ مورد نظر از وزنههای دیΎر سنΎینتر است باید
برای هر وزنهای یΈ مقایسه منحصر به فرد را مشخص کنیم و در
هر صورت به ٣١ بار استفاده از ترازو نیازمندیم. ■
٢١ .ما ٣٢ وزنه با وزنهای مختلف و یΈ ترازوی دو کفهای
داریم. مͳ خواهیم دو وزنهای را که از لحاظ سنΎینͳ در رتبۀ اول
و دوم قرار دارند پیدا کنیم. چند بار باید
منطق؛ ضامن استدلال ٢٧
حل. ابتدا وزنهها را به ١۶ دستۀ دوتایـͳ تقسیم مͳکنیم و آنها را
دو به دو با هم مقایسه مͳکنیم. فرض کنیم در این مقایسهها وزنۀ
اول از دومͳ سبΈتر باشد، سومͳ از چهارمͳ سبΈتر باشد و به
همین ترتیب وزنۀ سͳ و ی΋مͳ نیز از وزنۀ سͳ و دوم سبΈتر باشد.
اکنون ما برای رتبۀ اول از لحاظ سنΎینͳ به وزنههای با شمارههای
زوج مش΋وک هستیم. حال این وزنهها را به ٨ دستۀ دوتایـͳ تقسیم
مͳکنیم و آنها را دو به دو با هم مقایسه مͳکنیم. فرض کنیم وزنۀ
دومͳ از چهارمͳ سبΈتر باشد، وزنۀ ششمͳ از هشتمͳ سبΈتر
باشد و به همین ترتیب وزنۀ سͳام از وزنۀ سͳ و ی΋م سبΈتر باشد.
لذا ما اکنون به وزنههایـͳ که شمارۀ آنها مضرب ۴ است مش΋وک
هستیم. با انجام این کار پس از ٣١ بار استفاده از ترازو وزنۀ
سنΎینتر به دست مͳآید.
اما اکنون برای پیدا کردن وزنهای که از لحاظ سنΎینͳ در رتبۀ
دوم قرار دارد به چه وزنههایـͳ مش΋وک هستیم؟ در حقیقت ما
باید در بینوزنههایـͳ که با وزنۀ ٣٢ مقایسه شدهاند و از وزنۀ ٣٢
سبΈتر بودهاند به دنبال وزنۀ با رتبۀ دوم باشیم و هیͿ کدام از
وزنههای دیΎر نمͳتوانند رتبۀ دوم را به دست بیاورند. این وزنهها
دارای شمارۀ ١۶ ،٢۴ ،٢٨ ،٣٠ و ٣١ هستند. ما به وزنههای
دیΎر مش΋وک نیستیم چون اگر مثلا̈ وزنۀ شمارۀ ١٠ را در نظر
بΎیریم این وزنه از وزنۀ شمارۀ ١٢ سبΈتر است و اگر قرار باشد
وزنۀ ١٠ رتبۀ دوم را داشته باشد (فرض خلف) آنΎاه وزنۀ ١٢ باید
رتبهای بین اول و دوم را داشته باشد که غیرمم΋ن است.
لذا ما برای رتبۀ دوم به ۵ وزنه مش΋وکهستیم که هیͿ مقایسهای
قبلا̈ بین خود اینها انجام نشده است. برای پ
٢٨ وزنهها، س΋هها، ترازو
وزنه بین این ۵ وزنه ما به ۴ توزین دیΎر احتیاج داریم. در نتیجه
ما باید ۴ + ۳۱ بار از ترازو استفاده کنیم. ■
٢٢ .ما ١١ س΋ه داریم که ی΋ͳ از آنها تقلبͳ است و وزن آن با بقیه
فرق دارد. ١٠ س΋ۀ دیΎر سالم هستند و وزن ی΋سان دارند. ی΋ͳ
از س΋هها را به طور اتفاقͳ بر مͳداریم و کنار مͳگذاریم. اکنون
نمͳدانیم که در بین ١٠ س΋ۀ باقیمانده س΋ۀ تقلبͳ وجود دارد یا
نه. ما یΈ ترازوی دو کفهای داریم. مͳخواهیم با دو بار استفاده
از این ترازو بفهمیم که در بین این ١٠ س΋ۀ باقیمانده س΋ۀ تقلبͳ
وجود دارد یا نه و اگر وجود دارد این س΋ه سبΈتر از س΋ههای
سالم است یا سنΎینتر از آنها. چΎونه این کار را انجام دهیم؟
(دقت کنید که نمͳخواهیم س΋ۀ تقلبͳ را در صورت وجود پیدا
کنیم.)
حل. ابتدا ٨ تا از س΋هها را انتخاب مͳکنیم و ٢ تا از آنها را
کنار مͳگذاریم، آنها را به دو دستۀ ۴ تایـͳ تقسیم مͳکنیم و در دو
کفه مͳگذاریم. اگر ترازو به حالت تعادل ایستاد مͳفهمیم که این
س΋هها سالم هستند. حال دو تا از این س΋هها را با دو س΋های که
از قبل کنار گذاشته بودیم مقایسه مͳکنیم. اگر تعادل ایجاد شد
همۀ س΋هها سالم هستند و در غیر این صورت مͳفهمیم که س΋ۀ
تقلبͳ سبΈتر است یا سنΎینتر.
اما اگر در توزین اول دیدیم که تعادل برقرار نشد مͳفهمیم که
س΋ۀ تقلبͳ در بین همین ٨ س΋ه است. کفۀ سبΈتر را در نظر
مͳگیریم و ۴ س΋ۀ آن را به دو دستۀ ٢ تایـͳ تقسیم مͳکنیم و با هم
مقایسه مͳکنیم. اگر تعادل برقرار شد مͳفهمیم که
منطق؛ ضامن استدلال ٢٩
بین س΋ههای کفۀ سنیΎنتر توزین اول بوده و در غیر این صورت
مͳفهمیم که س΋ۀ تقلبͳ سبΈتر از بقیه است. ■
٢٣ .ما ١٠٢۴ بطری نوشابه داریم و به ما گزارش دادهاند که
نوشابۀ ی΋ͳ از بطریها مسموم است. برای تشخیص این که کدام
بطری مسموم است یΈ دستΎاه آزمایش کننده داریم که اگر یΈ
قطره از مایعͳ را در آن بریزیم پس از یΈ ساعت برای ما مشخص
مͳکند که مسموم است یا نه. شما ١١ ساعت وقت دارید تا بطری
مسموم را پیدا کنید. چΎونه این کار را انجام مͳدهید؟
حل. ابتدا از ۵١٢ بطری هر کدام یΈ قطره بر مͳداریم و آن را
در یΈ لولۀ آزمایش مͳریزیم و به دستΎاه آزمایش کننده مͳدهیم.
پس از این که نتیجۀ آزمایش مشخص شد مͳفهمیم که بطری
مسموم در بین همین ۵١٢ بطری است یا در دستۀ دوم قرار دارد. به
هر حال پس از مشاهدۀ نتیجۀ آزمایش به ی΋ͳ از دستههای ۵١٢
تایـͳ مش΋وک مͳشویم. اکنون این ۵١٢ بطری را به دو دستۀ
٢۵۶ تایـͳ تقسیم مͳکنیم و همین کار را انجام مͳدهیم و به ی΋ͳ
از دستهها مش΋وک مͳشویم. با ادامۀ این کار پس از ١٠ بار
استفاده از دستΎاه مͳتوانیم بطری مسموم را استفاده کنیم و ١١
ساعت زمان برای پر کردن لولههای آزمایش و ١٠ بار استفاده از
دستΎاه زمان مناسبͳ است. ■
٢۴ .ما ١٠٢۴ بطری نوشابه داریم و به ما گزارش دادهاند که
نوشابۀ ی΋ͳ از بطریها مسموم است. برای تشخیص این که کدام
بطری مسموم است ١٠ دستΎاه آزمایش کننده داریم که اگر یΈ
قطره از مایعͳ را در هر یΈ از آنها بریزیم پس از یΈ
٣٠ وزنهها، س΋هها، ترازو
ما مشخص مͳکند که مسموم است یا نه. شما ۴ ساعت وقت دارید
تا بطری مسموم را پیدا کنید. چΎونه این کار را انجام مͳدهید؟
حل. ابتدا ١٠٢۴ بطری را به ٨ دستۀ ١٠٣ تایـͳ و ٢ دستۀ ١٠٠
تایـͳ تقسیم مͳکنیم و ١٠ لوله آزمایش درست مͳکنیم و به ١٠
دستΎاه مͳدهیم تا روی آنها آزمایش کنند. پس از مشاهدۀ نتیجۀ
آزمایش به ی΋ͳ از دستهها مش΋وک مͳشویم که حداکثر ١٠٣
بطری در آن قرار دارد. اکنون این ١٠٣ بطری را به ٧ دستۀ ١٠
تایـͳ و ٣ دستۀ ١١ تایـͳ تقسیم مͳکنیم و ١٠ لوله آزمایش درست
مͳکنیم و به ١٠ دستΎاه مͳدهیم. پس از مشاهدۀ نتیجۀآزمایش
به ی΋ͳ از دستهها مش΋وک مͳشویم که حداکثر ١١ بطری در آن
است. حال ١٠ بطری را انتخاب مͳکنیم و از هر کدام یΈ قطره
بر مͳداریم و به ١٠ دستΎاه مͳدهیم. اگر دستΎاهها نشان دادند
که ی΋ͳ از بطریها مسموم است که ما بطری را یافتهایم و در غیر
این صورت بطری یازدهم که کنار گذاشته بودیم مسموم مͳباشد.
لذا با ٣ بار استفاده از دستΎاهها بطری مسموم را مͳیابیم و ۴
ساعت زمان برای انجام این کار کافͳست. ■
٢۵ .ما ١٠٢۴ بطری نوشابه داریم و به ما گزارش دادهاند که
نوشابۀ ی΋ͳ از بطریها مسموم است. برای تشخیص این که کدام
بطری مسموم است ١٠ دستΎاه آزمایش کننده داریم که اگر یΈ
قطره از مایعͳ را در هر یΈ از آنها بریزیم پس از یΈ ساعت برای
ما مشخص مͳکند که مسموم است یا نه. شما یΈ ساعت و نیم
وقت دارید تا بطری مسموم را پیدا کنید. چΎونه این کار را انجا
منطق؛ ضامن استدلال ٣١
حل. از ظاهر مسأله این گونه بر مͳآید که ما نیم ساعت برای ف΋ر
کردن و تهیۀ ١٠ لوله آزمایش زمان داریم و پس از آن فقط یΈ بار
حق داریم که از دستΎاههایمان استفاده کنیم. بنابراین باید ببینیم
که این ١٠ لوله آزمایش را چΎونه باید تهیه کنیم. برای آن که
به نتیجۀ مطلوب برسیم باید لولههای آزمایش را طوری تهیه کنیم
که نتای; حاصل از آزمایشها (که ١٠٢۴ حالت مم΋ن است)
هر کدام وضعیت منحصر به فردی را برای ما مشخص کند زیرا
در غیر این صورت مم΋ن است دو بطری متفاوت با یΈ نتیجۀ
آزمایش ی΋سان متناظر شوند و لذا نتوانیم تشخیص دهیم که کدام
بطری مسموم است. اما این ١٠٢۴ حالت متفاوت چیست؟ این
حالات دقیقاً برابر حالات مختلف قرار دادن ١٠ رقم ٠ و ١ در
کنار ی΋دیΎر برای ساختن یΈ کد ١٠ رقمͳ است. این کدها
عبارتند از
١٠ ٩ ٨ ٧ ۶ ۵ ۴ ٣ ٢ ١
١ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠
٢ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ١
٣ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ١ ٠
۴ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ١ ١
۵ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ٠
۶ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ١ ٠ ١
… … … … … … … … … … …
١٠٢۴ ١ ١ ١ ١ ١ ١ ١ ١
٣٢ وزنهها، س΋هها، ترازو
اکنون ستونهای ١ تا ١٠ لوله آزمایشهای ما هستند و سطرهای
١ تا ١٠٢۴ بطریها. بنابراین مثلا̈ برای درست کردن لوله آزمایش
چهارم باید به ستون ۴ نΎاه کنیم و هر شمارهای در آن ستون که برابر
١ بود از همان بطری یΈ قطره در لوله آزمایش چهارم بریزیم. به
این ترتیب وقتͳ لولهآزمایشها را به دستΎاهها بدهیم و نتیجه برای
ما مشخص شود، این نتیجۀ ١٠ دستΎاه به صورت یΈ کد ١٠
رقمͳ با ارقام ٠ و ١ خواهد بود که ٠ به معنͳ مسموم نبودن و ١ به
معنͳ مسموم بودن است و چون هر نتیجهای فقط با ی΋ͳ از سطرها
متناظر است شمارۀ بطری مسموم به دست مͳآید. به عنوان مثال
اگر نتیجۀ دستΎاههایآزمایش کننده به صورت ٠٠٠٠٠٠٠١٠١
باشد آنΎاه بطری ششم مسموم است چون این نتیجه فقط بر سطر
ششم منطبق مͳباشد. ■
٢۶ .یΈترازوی سه کفهای داریم. مͳتوان روی این ترازو سه وزنه
گذاشت و مشاهده کرد که کدام یΈ سبΈتر، کدام یΈ سنΎینتر
و کدام یΈ متوسط است. ما ۵ وزنه با وزنههای متفاوت داریم.
برای این که وزنۀ وسطͳ را در بین این ۵ وزنه پیدا کنید حداقل
چند بار باید از ترازو استفاده کنید؟
حل. فرض کنیم وزنهها e, d, c, b, a باشند. ابتدا دلیل مͳآوریم
که با دو بار توزین به هدف مسأله نمͳرسیم. فرض کنیم با دو
توزین این کار ام΋انپذیر باشد (فرض خلف). فرقͳ نمͳکند که
در توزین اول کدام سه وزنه را روی ترازو بΎذاریم. مثلا̈ فرض
کنیم c, b, a را گذاشتهایم و نتیجۀ c < b < a حاصل شده است.
اکنون در توزین دوم حتماً باید دو وزنۀ d و
منطق؛ ضامن استدلال ٣٣
وگرنه نمͳتوانیم در مورد آنها اطلاعͳ به دست بیاوریم. حال سه
حالت مم΋ن است به وجود بیاید.
حالت اول. وزنههای e, d, a را در توزین دوم روی ترازو مͳگذاریم.
در این حالت اگر نتیجه به صورت e < d < a باشد آنΎاه هر یΈ
از وزنههای غیر از a مͳتواند وزنۀ وسطͳ باشد و لذا به نتیجه
نمͳرسیم.
حالت دوم. وزنههای e, d, c را در توزین دوم روی ترازو مͳگذاریم.
در این حالت اگر نتیجه به صورت c < e < d باشد آنΎاه هر یΈ از
وزنههای غیر از c مͳتواند وزنۀ وسطͳ باشد و لذا به نتیجه نمͳرسیم.
حالت سوم. وزنههای e, d, b را در توزین دوم روی ترازو
مͳگذاریم. در این حالت اگر نتیجه به صورت e < d < b باشد
آنΎاه هر یΈ از وزنههای c یا d مͳتواند وزنۀ وسطͳ باشد و لذا به
نتیجه نمͳرسیم.
اما برای آن که با سه توزین به نتیجه برسیم مͳتوانیم در توزین
اول c, b, a را بΎذاریم و اگر نتیجه c < b < a شد آنΎاه در توزین
دوم e, d, b را مͳگذاریم. حال اگر b در این توزین وسط قرار
گیرد، آنΎاه b همان وزنۀ وسطͳ در بین ۵ وزنه است. همچنین اگر
b کوچΈتر باشد به وزنههای d و c برای وزنۀ وسطͳ بین ۵ وزنه
مش΋وک مͳشویم (هر کدام کوچΈتر بود وزنۀ وسطͳ است).
بالاخره اگر b وزنۀ بزرگتر توزین دوم باشد آنΎاه به وزنههای e
و a مش΋وک مͳشویم (هر کدام بزرگتر بود وزنۀ وسطͳ است).
اکنون با توزین سوم به سادگͳ مͳتوانیم پاس΁ مسأله را به دست
۴
پیدا کردن پاس΁ مورد
نظر
ارسطو: برای تالس نخستین سؤال این
نبود که چه مͳدانیم، بل΋ه این بود که
چΎونه مͳدانیم.
٢٧ .سه نفر با نامهای A ،B و C به جزیرۀ آدمخورها رفتهاند و
گرفتار آدمخورها شدهاند. رئیس قبیله به این سه نفر مͳگوید: ما
در اینجا سه کلاه سفید و دو کلاه سیاه داریم. چشمهای شما
را مͳبندیم و دو تا از کلاهها را دور مͳاندازیم و سپس سه کلاه
دیΎر را روی سر شما مͳگذاریم و به شما مͳگویـیم که روی سه
پله بایستید. A در پلۀ بالا مͳایستد، B در پلۀ پایـینتر و C در
پایـینترین پله. وقتͳ چشمهای شما را باز مͳکنیم، A مͳتواند
کلاه B و C را ببیند اما کلاه خودش را نمͳتواند ببیند. B مͳت
٣۶ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
کلاه C را ببیند اما کلاه خودش را نمͳبیند و C کلاه هیͿ کس را
نمͳبیند. اول A حق صحبت کردن دارد، بعد B و سپس C .هر
کس بتواند رنΊ کلاه خودش را تشخیص دهد باید اعلام کند و
در غیر این صورت باید بΎوید که من نمͳدانم کلاهم چه رنͳΎ
است. اگر یΈ نفر از شما بتواند رنΊ کلاهش را درست تشخیص
دهد هر سه نفر را آزاد مͳکنیم و در غیر این صورت هر سه نفر را
مͳخوریم. آدمخورها این کار را انجام مͳدهند. وقتͳ چشم سه
نفر را باز مͳکنند A نΎاهͳ به کلاههای دو نفر دیΎر مͳاندازد
و سپس مͳگوید: «من نمͳدانم کلاهم چه رنͳΎ است.» سپس
B به کلاه C نΎاهͳ مͳاندازد و مͳگوید: «من نمͳدانم کلاهم
چه رنͳΎ است.» در پایان C مͳگوید: «من مͳدانم کلاهم چه
رنͳΎ است!». کلاه C چه رنͳΎ بوده و او چطور رنΊ کلاهش
را فهمیده است؟
حل. وقتͳ A مͳگوید که نتوانسته رنΊ کلاهش را تشخیص
دهد، این به معنͳ آن است که کلاههای B و C هر دو سیاه نیست،
چون اگر چنین نمͳبود (فرض خلف)، یعنͳ اگر کلاه B و C هر
دو سیاه مͳبود، در آن صورت با توجه به آن که دو کلاه سیاه بیشتر
نداریم، A مͳتوانست تشخیص دهد که رنΊ کلاهش باید حتماً
سفید باشد.
اکنون B و C نیز با این استدلال مͳدانند که کلاه هر دو نفر
آنها با هم سیاه نیست. حال اگر B روی سر C کلاه سیاه ببیند،
مͳتواند تشخیص دهد که کلاه خودش باید قطعاً سفید باشد، چون
اگر چنین نباشد (فرض خلف)، در این صورت کلاه B و C هر
منطق؛ ضامن استدلال ٣٧
سیاه مͳشود که مͳدانیم چنین چیزی ام΋ان ندارد. پس وقتͳ B
مͳگوید من نمͳدانم کلاهم چه رنͳΎ است به این معنͳست که او
روی سر C کلاه سیاه ندیده است و در نتیجه کلاه C سفید است.
اکنون C با این استدلالها مͳتواند بفهمد که کلاهش سفید است.

٢٨ .معلمͳ ٣٠ دانشآموز دارد. او مͳخواهد یΈ بازی با آنها
انجام دهد تا قدرت آنها را در حل مسائل منطقͳ شناسایـͳ کند. او
به آنها مͳگوید: «من تعداد زیادی کلاه سفید و سیاه در کمد خود
دارم. در ابتدا شما در یΈ صف مͳایستید و من چشمهای شما را
مͳبندم. سپس روی سر هر یΈ از شما یΈ کلاه مͳگذارم. بعد
چشمهای شما را باز مͳکنم و هر کسͳ مͳتواند کلاه همۀ افراد
دیΎر کلاس را ببیند اما نمͳتواند کلاه خود را ببیند. افراد از
شمارۀ ١ تا ٣٠ به ترتیب حق صحبت کردن دارند. هر کسͳ در
نوبت خود حق دارد که یΈ کلمۀ سفید یا سیاه را بΎوید و حق
ندارد کار دیΎری انجام دهد. مم΋ن است این فرد منظوری از
گفتن کلمۀ سفید یا سیاه داشته باشد یا این که با گفتن این کلمه
مͳخواهد رنΊ کلاه خود را بΎوید. من به هدف این فرد از گفتن
کلمۀ سفید یا سیاه کاری ندارم. هر کسͳ که کلمهاش را گفت به
رنΊ کلاهش نΎاه مͳکنم و اگر درست بود یΈ امتیاز به کلاس
مͳدهم. در پایان، وقتͳ نفر آخر کلمهاش را گفت، حساب مͳکنیم
که کلاس کلا̈ چند امتیاز گرفته است و متناسب با امتیاز کسب
شده جایزهای به کلاس مͳدهم تا آنها بین خودشان تقسیم کنند.
بنابراین این یΈ کار گروهͳست و شما باید به ی΋د
٣٨ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
کنید تا تعداد بیشتری بتوانند رنΊ کلاه خود را حدس بزنند. من
قبل از شروع بازی از کلاس خارج مͳشوم و نیم ساعت به شما
فرصت مͳدهم تا قرارهای لازم را بین خودتان بΎذارید. سپس
به کلاس بر مͳگردم و بازی را انجام مͳدهیم.» دانشآموزان چه
روشͳ را به کار ببرند تا بتوانند قطعاً جایزۀ بیشتری دریافت کنند.
(دقت کنید که به شانس و احتمال کسب جایزۀ بیشتر ف΋ر کنیم.
ما به دنبال یΈ روش قطعͳ هستیم.)
حل. در اینجا چهار روش برای حل مسأله را مͳآوریم که در
دو روش آنها ١۵ نفر قطعاً درست مͳگویند، در یΈ روش ٢٠
نفر و در روش آخر ٢٩ نفر قطعاً مͳتوانند رنΊ کلاه خودشان را
تشخیص دهند. ضمناً اثبات مͳکنیم که ام΋ان ندارد هر ٣٠ نفر
بتوانند قطعاً رنΊ کلاه خودشان را تعیـین کنند.
روش اول (١۵ نفری). قبل از این که معلم بازی را شروع
کند، بچهها با هم قرار مͳگذارند که شمارههای فرد رنΊ کلاه
شمارههای زوج پس از خود را بΎویند و شمارههای زوج، رنͳΎ را
که نفر قبل از آنها گفته ت΋رار کنند. به این روش شمارۀ ١ خودش
را فدا مͳکند و رنΊ کلاه شمارۀ ٢ را مͳگوید و شمارۀ ٢ رنͳΎ
را که از دهان شمارۀ ١ شنیده است ت΋رار مͳ کند. در این بین
قطعاً شمارههای زوج درست مͳگویند و لذا ١۵ نفر رنΊ کلاه
خود را به درستͳ تشخیص مͳدهند. البته مم΋ن است برخͳ از
افراد شمارههای فرد نیز رنΊ خود را درست بΎویند که بر اساس
شانس است و ما به آن کاری نداریم.
روش دوم (١۵ نفری). قبل از این که معلم بازی
منطق؛ ضامن استدلال ٣٩
کند، دانشآموز شمارۀ ١ به بقیۀ بچهها مͳگوید: «وقتͳ چشمهایمان
را باز کردند، من به همه نΎاه مͳکنم و تعداد کلاههای سفید و سیاه
را مͳشمارم و هر رنͳΎ که بیشتر بود را اعلام مͳکنم. به این ترتیب
شما متوجه مͳشود که در بین شما ٢٩ نفر چه رنͳΎ اکثریت است.
سپس همۀ شما رنͳΎ را که من اعلام کردهام بΎویـید.» در نتیجه
قطعاً اکثریت ٢٩ نفر باقیمانده رنΊ کلاه خود را به درستͳ اعلام
مͳکنند و لذا قطعاً ١۵ نفر درست مͳگویند.
روش سوم (٢٠ نفری). بچهها با هم قرار مͳگذارند که به
گروههای ٣ نفری تقسیم شوند. یعنͳ گروهاول شامل نفرات ١،
٢ و ٣ است، گروه دوم شامل نفرات ۴ ،۵ و ۶ است و به همین
ترتیب گروه آخر شامل نفرات ٢٨ ،٢٩ و ٣٠ است. اکنون شمارۀ
کوچΈتر در هر گروه با دو نفر دیΎر قرار مͳگذارد که اگر رنΊ
کلاه دو نفر دیΎر مثل هم بود بΎوید سفید و در غیر این صورت
بΎوید سیاه. حال اگر مثلا̈ شمارۀ ١ بΎوید سفید، در این صورت
شمارههای ٢ و ٣ متوجه مͳشوند که رنΊ کلاه آنها مثل هم است
و در نتیجه به کلاه ی΋دیΎر نΎاه مͳکنند و رنΊ کلاه دیΎری را
مͳگویند، اما اگر شمارۀ ١ بΎوید سیاه، در این صورت شمارۀ ٢
و ٣ مͳفهمند که رنΊ کلاهشان با هم فرق دارند. بنابراین ٢ به
رنΊ کلاه ٣ نΎاه مͳکند و برع΋س آن را مͳگوید و ٣ نیز به
کلاه ٢ نΎاه مͳکند و برع΋س آن را مͳگوید. در نتیجه در هر
گروه ٣ نفری یΈ نفر خود را فدا مͳکند و دو نفر دیΎر درست
مͳگویند. پس نهایتاً ٢٠ نفر قطعاً رنΊ کلاه خود را به درستͳ
تشخیص مͳدهند.
روش چهارم (٢٩ نفری). در این روش دانشآمو
۴٠ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
به بقیۀ بچهها مͳگوید: «وقتͳ چشمهایمان را باز کردند، من به
شما ٢٩ نفر نΎاه مͳکنم و تعداد کلاههای سفید را در بین شما
مͳشمارم. اگر تعداد کلاههای سفید در بین شما عددی زوج بود،
مͳگویم سفید و در غیر این صورت مͳگویم سیاه.» به این ترتیب
اگر نفر اول مثلا̈ بΎوید سفید، بقیۀ بچهها متوجه مͳشوند که تعداد
کلاههای سفید در بین آنها عددی زوج است. حال اگر ی΋ͳ از
دانشآموزان به ٢٨ نفر دیΎر نΎاه کند و مثلا̈ ١٣ کلاه سفید ببیند
متوجه مͳشود که رنΊ کلاه خودش هم باید سفید باشد، چون اگر
چنین نباشد (فرض خلف) و رنΊ کلاه او سیاه باشد پس کلا̈ ١٣
سفید در بین ٢٩ نفر وجود دارد و لذا تعداد کلاههای سفید در بین
٢٩ نفر عددی فرد است و این با اطلاعͳ که ١ به بقیه داده است در
تناقض است. پس هر یΈ از ٢٩ نفر دیΎر مͳتوانند قطعاً رنΊ
کلاه خود را تشخیص دهند.
اما ام΋ان ندارد روشͳ پیدا کنیم که هر ٣٠ نفر بتوانند قطعاً
درست بΎویند چون اگر روشͳ وجود داشته باشد که هر ٣٠ نفر
درست بΎویند (فرض خلف) در این صورت دانشآموز اول هم در
ابتدای کار باید بتواند رنΊ کلاه خودش را قطعاً تشخیص دهد.
ولͳ او فقط مͳتواند رنΊ کلاه ٢٩ نفر دیΎر را ببیند و دیدن کلاه
آن افراد بدون هیͿ اطلاع اضافͳ ،موجب تشخیص رنΊ کلاه وی
نخواهد شد. ■
٢٩ .سه جعبه داریم که در ی΋ͳ از آنها سیب، در دیΎری پرتقال و
در سومͳ سیب-پرتقال قرار دارد. روی جعبهها برچسبͳ چسباندهاند
که ی΋ͳ سیب، دیΎری پرتقال و ی΋ͳ دیΎر سیب-پرت
منطق؛ ضامن استدلال ۴١
ما گفتهاند که هر سه برچسب را اشتباه نصب کردهاند. ما نمͳتوانیم
داخل جعبهها را ببینیم اما اجازه داریم که فقط از ی΋ͳ از جعبهها
(به انتخاب خودمان) به طور اتفاقͳ یΈ میوه بیرون بیاوریم و
آن را ببینیم. آیا مͳتوانید به این روش برچسبها را درست نصب
کنید؟
حل. ابتدا از جعبهای که روی آن سیب-پرتقال نوشته شده یΈ
میوه به طور اتفاقͳ بیرون مͳآوریم. مثلا̈ فرض کنیم این میوه سیب
باشد. در این صورت برچسب روی این جعبه باید حتماً سیب باشد
چون در این جعبه سیب یافتهایم و با توجه به برچسب فعلͳ آن
ام΋ان ندارد که داخل جعبه سیب-پرتقال باشد.
اکنون که فهمیدیم برچسب این جعبه باید سیب باشد در جعبهای
که اکنون روی آن برچسب پرتقال چسبیده باید سیب-پرتقال باشد
زیرا مͳدانیم که برچسب این جعبه پرتقال نیست (چون برچسبها
اشتباه همͳΎ نصب شده) و برچسب آن سیب هم نیست (چون
فهمیدهایم که برچسب کدام جعبه باید سیب باشد). بنابراین تنها
حالت مم΋ن این است که برچسب این جعبه سیب-پرتقال باشد
و در نتیجه برچسب جعبۀ آخر باید پرتقال باشد. ■
٣٠ .یΈساعت عقربهای داریم که عقربۀ ساعتشمار و دقیقهشمار
آن کاملا̈ مثل هم است. اگر دایره را به ۶٠ قسمت مساوی تقسیم
کنیم و از ١ تا ۶٠ شمارهگذاری کنیم ی΋ͳ از عقربهها روی عدد
١٢) یعنͳ کمͳ بعد از ساعت دو) ایستاده است و عقربۀ دیΎر
روی عدد ١۶) یعنͳ کمͳ بعد از ساعت سه). آیا مͳتوان گفت
که این ساعت چه زمانͳ
۴٢ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
حل. ابتدا باید ببینیم که ما در زمانͳ بین ساعت ٢ تا ٣ هستیم یا
در زمانͳ بین ٣ تا ۴ .اگر قرار باشد که ساعت بین ٢ تا ٣ باشد
پس باید چیزی حدود دو و رب باشد. ولͳ وقتͳ عقربۀ ساعتشمار
روی عدد ١٢ ایستاده است یعنͳ دو پنجم فاصلۀ بین ساعت ٢
تا ٣ را رد کرده و این یعنͳ دقیقاً ٢۴ دقیقه از ساعت ٢ گذشته
است. پس حتͳ اگر ما عقربۀ دیΎر را هم نبینیم مͳتوانیم حدس
بزنیم که ساعت باید ٢ و ٢۴ دقیقه باشد یعنͳ عقربۀ دیΎر باید
روی عدد ٢۴ ایستاده باشد که مͳدانیم چنین نیست. لذا ساعت
باید چیزی بین ٣ تا ۴ باشد. اما از آنجایـͳ که ی΋ͳ از عقربهها
روی ١٢ ایستاده است ساعت باید ٣ و ١٢ دقیقه باشد که در این
صورت عقربۀ ساعتشمار باید یΈ پنجم فاصلۀ بین ساعت ٣ تا
۴ را طͳ کرده باشد و لذا عقربۀ دیΎر باید روی عدد ١۶ ایستاده
باشد که مͳدانیم به همین ش΋ل است. بنابراین ساعت ٣ و ١٢
دقیقه است. ■
٣١ .یΈ عدد چهار رقمͳ به ش΋ل abcd داریم که تعداد رقمهای
٠ به کار رفته در این عدد برابر a ،تعداد رقمهای ١ به کار رفته در
آن برابر b ،تعداد رقمهای ٢ در آن برابر c و تعداد رقمهای ٣ در
آن برابر d است. این عدد چه عددی مͳتواند باشد؟
حل. هیͿ یΈ از رقمهای این عدد نمͳتواند برابر ٣ باشد چون
اگر d برابر ٣ باشد (فرض خلف) آنΎاه ما باید سه تا رقم ٣ در
این عدد داشته باشیم و لذا ی΋ͳ از سه رقم دیΎر این عدد هم باید
برابر ٣ باشد یعنͳ ی΋ͳ از رقمهای ٠ ،١ یا ٢ باید ٣ بار به کار
رفته باشند و چون ٣ هم ٣ بار به کار رفته پس این
منطق؛ ضامن استدلال ۴٣
چهار رقم خواهد داشت که غیرمم΋ن است. همچنین اگر ی΋ͳ از
رقمهای دیΎر غیر از d برابر ٣ باشد (فرض خلف) آنΎاه رقمͳ
غیر از ٣ نیز باید ٣ بار به کار برده شود که باز هم با چهار رقمͳ
بودن عدد ما در تناقض است.
پس هیͿ یΈ از رقمها برابر ٣ نیست و لذا ۰ = d .اکنون a
نمͳتواند برابر ٠ باشد و چون هیͿ یΈ از رقمها ٣ نیست پس a
برابر ١ یا ٢ است.
اگر a برابر ١ باشد آنΎاه b باید حداقل برابر ١ باشد چون حداقل
یΈ بار رقم ١ به عنوان رقم سمت چپ استفاده شده است. ولͳ
b نمͳتواند برابر ١ باشد چون اگر b برابر ١ باشد (فرض خلف)
در آن صورت حداقل دو تا ١ داریم و این با انتخاب b در تناقض
است. پس b باید حداقل ٢ باشد و چون هیͿ رقمͳ نمͳتواند برابر
٣ باشد پس b باید برابر ٢ باشد. به این ترتیب c باید برابر ١ باشد و
لذا ی΋ͳ از اعدادی که مورد نظر مسأله است عدد ١٢١٠ مͳباشد.
اما اگر a برابر ٢ باشد آنΎاه دو تا از رقمها باید برابر ٠ باشند و
چون در سمت چپ عدد رقم ٢ را استفاده کردهایم پس c نمͳتواند
برابر ٠ باشد و لذا رقمهای b و d برابر ٠ هستند. اکنون مشخص
است که c باید ٢ باشد و لذا عدد دیΎر مورد نظر مسأله عدد ٢٠٢٠
مͳباشد. ■
٣٢ .یΈ عدد ده رقمͳ به ش΋ل abcdefghij داریم که تعداد
رقمهای ٠ به کار رفته در این عدد برابر a ،تعداد رقمهای ١ به
کار رفته در آن برابر b ،تعداد رقمهای ٢ در آن برابر c و به همین
ترتیب تعداد رقمهای ٩ در آن برابر j است. این ع
۴۴ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
مͳتواند باشد؟
حل. با استدلالͳ مشابه آنچه در مسألۀ قبل گفته شد مͳتوان اثبات
کرد که a فقط مͳتواند برابر ۶ باشد. بنابراین f باید حداقل ١
باشد ولͳ اگر f عددی بیشتر از ١ باشد آنΎاه باید حداقل دو بار
۶ داشته باشیم یعنͳ باید حداقل دو تا از رقمها را هر یΈ ۶ بار به
کار بریم و لذا باید عدد ما حداقل ١٢ رقمͳ باشد که ام΋ان ندارد.
پس f برابر ١ است.
اکنون نتیجه مͳشود که b باید حداقل ١ باشد ولͳ b نمͳتواند
خود ١ باشد چون در این صورت هم b و هم f برابر ١ هستند و
لذا حداقل دو بار ١ داریم و این با ۱ = b در تناقض است. اما b
نمͳتواند عددی بزرگتر از ٢ باشد چون اگر b حداقل ٣ باشد در
این صورت ما باید حداقل ٣ بار ١ داشته باشیم و حداقل یΈ بار
رقم b را داشته باشیم و چون یΈ بار هم ۶ داریم پس عدد ما باید
حداقل ١١ رقمͳ باشد که ام΋ان ندارد. لذا b باید برابر ٢ باشد.
اکنون ما فقط مͳتوانیم یΈ رقم دیΎر را مخالف ٠ بΎذاریم و
چون b برابر ٢ شده است پس ما در عددمان رقم ٢ داریم و لذا c
باید مخالف ٠ باشد. لذا c برابر ١ است و عدد مورد نظر مسأله
تنها مͳتواند عدد ۶٢١٠٠٠١٠٠٠ باشد. ■
٣٣ .ما یΈ بش΋ۀ پر از آب و یΈ پیمانۀ ٩ لیتری و یΈ پیمانۀ
۴ لیتری داریم و هیͿ ظرف دیΎری نداریم. مͳخواهیم ۵ لیتر آب
از این بش΋ه برداریم. چΎونه این کار را انجام دهیم؟
حل. پیمانۀ ٩ لیتری را پر از آب مͳکنیم و آن را در پیمانۀ ۴
لیتری خالͳ مͳکنیم. اکنون ۵ لیتر آب در پیمانۀ ٩ لیتری با
منطق؛ ضامن استدلال ۴۵
مانده است. ■
٣۴ .ما یΈ بش΋ۀ پر از آب و یΈ پیمانۀ ٩ لیتری و یΈ پیمانۀ
۴ لیتری داریم و هیͿ ظرف دیΎری نداریم. مͳخواهیم ۶ لیتر آب
از این بش΋ه برداریم. چΎونه این کار را انجام دهیم؟
حل. ابتدا پیمانۀ ٩ لیتری را پر از آب مͳکنیم و آن را در پیمانۀ ۴
لیتری خالͳ مͳکنیم و پیمانۀ ۴ لیتری را به بش΋ه بر مͳگردانیم و
دوباره از پیمانۀ ٩ لیتری که اکنون ۵ لیتر آب دارد پیمانۀ ۴ لیتری
را پر مͳکنیم و مجدداًپیمانۀ ۴ لیتری را در بش΋ه خالͳ مͳکنیم.
اکنون ١ لیتر آب در پیمانۀ ٩ لیتری باقͳ مانده است که آن را در
پیمانۀ ۴ لیتری مͳریزیم.
حال پیمانۀ ٩ لیتری را پر مͳکنیم و آن قدر آب از آن در پیمانۀ
۴ لیتری مͳریزیم تا پیمانۀ ۴ لیتری پر شود. چون قبلا̈ ١ لیتر آب
در پیمانۀ ۴ لیتری وجود داشت پس ما باید ٣ لیتر از پیمانۀ ۴
لیتری را در پیمانۀ ۴ لیتری ریخته باشیم و لذا در پیمانۀ ٩ لیتری
اکنون ۶ لیتر آب باقͳ مانده است. ■
٣۵ .یΈ نفر مͳخواهد کدی چهار رقمͳ به صورت abcd را برای
دوستش بفرستد. او به جای آن، ٩ کد چهار رقمͳ زیر را برای
دوستش مͳفرستد
۲۱۸۶,۴۳۵۱,۴۵۲۱,۵۱۲۷,۵۹۱۶,
۶۳۸۴,۶۹۲۴,۸۲۵۳,۸۵۱۷
و به او مͳگوید در هر یΈ از این کدها حداقل ی΋ͳ از ارقام a،
b ،c و d درست در جای خود ظاهر شدهاند. آیا دوستش مͳتوا
۴۶ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
به این روش کد چهار رقمͳ abcd را پیدا کند؟
حل. ما باید a ،b ،c و d را طوری تعیـین کنیم که با این ٩ کد
همخوانͳ داشته باشند. اگر هر یΈ از این رقمها باعث همخوانͳ
با دو کد شوند در آن صورت ما کدی ساختهایم که با ٨ کد از ٩
کد داده شده همخوانͳ دارد و لذا به نتیجه نرسیدهایم. پس باید
ی΋ͳ از این رقمها با سه کد همخوانͳ داشته باشد. اگر کمͳ دقت
کنیم متوجه مͳشویم تنها رقمͳ که در ی΋ͳ از م΋انها سه بار ظاهر
شده رقم ٢ است که به عنوان م΋ان دهΎان سه بار ظاهر شده است
(مثلا̈ رقم ٩ در رقم صدگان دو بار ظاهر شده است). بنابراین
بهترین کار این است که c را برابر ٢ قرار دهیم چون در غیر این
صورت به هدف خود نخواهیم رسید.
اکنون سه تا از کدها یعنͳ کدهای ۴۵٢١ ،۵١٢٧ و ۶٩٢۴ با
این انتخاب ما برای c همخوانͳ دارند. این کدها را کنار مͳگذاریم
و به شش کد باقیمانده نΎاه مͳکنیم. با مشاهدۀ رقم ی΋ان در
کدهای باقیمانده متوجه مͳشویم که انتخاب عدد ۶ برای رقم
ی΋ان مناسب است. پس d را برابر ۶ قرار مͳدهیم. به همین
ترتیب با حذف این دو کد و توجه به چهار کد باقیمانده متوجه
مͳشویم که رقم صدگان باید برابر ٣ باشد و رقم دیΎر نیز برابر ٨ به
دست مͳآید. پس کد ارسالͳ ٨٣٢۶ بوده است و هیͿ کد دیΎری
نمͳتواند باشد. ■
٣۶ .n عددی سه رقمͳ است. n با ١٢٣ در یΈ رقم مشترک
است اما این رقم مشترک با رقم n در یΈ م΋ان نیامده است. n
با ۴۵۶ در یΈ رقم مشترک است اما این رقم مشترک با
منطق؛ ضامن استدلال ۴٧
در یΈ م΋ان نیامده است. n با ۴٧۶ در یΈ رقم مشترک است
و این رقم مشترک با رقم n در یΈ م΋ان آمده است. n با ٨٢٣
در هیͿ رقمͳ مشترک نیست. n چند است؟
حل. چون n با ١٢٣ یΈ رقم مشترک دارد ولͳ با ٨٢٣ هیͿ رقم
مشترکͳ ندارد پس این رقم مشترک با ١٢٣ باید ١ باشد. بنابراین
ی΋ͳ از رقمهای n برابر ١ است و مͳدانیم که این ١ نباید در رقم
صدگان باشد چون رقم مشترک n و ١٢٣ در یΈ م΋ان نیامده
است.
همچنین از آنجایـͳ که رقم مشترک n با ۴۵۶ در یΈ م΋ان
نیامده است و رقم مشترک n با ۴٧۶ در یΈ م΋ان آمده است پس
این رقم نمͳتواند ۴ یا ۶ باشد. لذا رقم مشترک n با ۴۵۶ برابر
۵ و رقم مشترک n با ۴٧۶ برابر ٧ است. به علاوه مͳدانیم که ٧
باید در م΋ان دهΎان بیاید.
اکنون چون ١ نمͳتواند در صدگان و دهΎان باشد پس ١ در
ی΋ان است و چون ۵ نمͳتواند در ی΋ان و دهΎان باشد لذا ۵ در
صدگان است. پس عدد مورد نظر ما ۵٧١ مͳباشد. ■
٣٧ .در یΈ کلاس که دانشجویان پسر و دختر حضور دارند
۱۲ هم΋لاسͳهای من دختر
ی΋ͳ از دانشجویان مͳگوید: «دقیقاً ۱۷
۵ هم΋لاسͳهای من
۷
هستند.» دانشجوی دیΎری مͳگوید: «دقیقاً
دختر هستند.» چند دانشجو در این کلاس حضور دارند؟
حل. اگر مخرجها را ی΋ͳ کنیم مͳبینیم که دانشجوی اول گفته
۸۵
۸۴ هم΋لاسͳهایش دختر هستند و دانشجوی دوم گفته ۱۱۹
۱۱۹
هم΋لاسͳهایش دختر هستند. اکنون باید بفهمیم که این دو دانش
۴٨ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
پسر بودهاند یا دختر. دانشجͳ اول باید خودش دختر باشد که تعداد
دخترهای هم΋لاسͳاش کمتر از دانشجوی دیΎر شده است و به
همین دلیل، دانشجوی دوم باید پسر باشد. پس کلا̈ ١٢٠ دانشجو
داشتهایم که ٨۵ نفر آنها دختر بودهاند و چون دانشجوی اول دختر
بوده غیر از خودشدر بین ١١٩ دانشجوی دیΎر ٨۴ هم΋لاسͳ
دختر داشته است و دانشجوی دوم چون پسر بوده غیر از خودش
در بین ١١٩ نفر دیΎر ٨۵ هم΋لاسͳ دختر داشته است. ■
٣٨ .پن; نقطه روی محور اعداد حقیقͳ در نظر مͳگیریم و فاصلۀ
دو به دوی آنها را محاسبه مͳکنیم. ١٠ عدد به دست مͳآوریم که
این ١٠ عدد از کوچΈ به بزرگ عبارتند از
۲,۴,۵,۷,۸, k,۱۳,۱۵,۱۷,۱۹.
k چند است؟
حل. وقتͳ ۵ نقطه روی محور داشته باشیم با محاسبۀ فاصلۀ دو
به دوی آنها ١٠ فاصله به دست مͳآید و چون اعداد داده شده ١٠
عدد مختلف هستند پس فاصلۀ ت΋راری ایجاد نشده است. مͳتوان
فهمید که فاصلۀ کوچΈترین عدد و بزرگترین عدد ١٩ بوده و
لذا مͳتوان این دو عدد را ٠ و ١٩ در نظر گرفت (هر دو عدد
دیΎری با فاصلۀ ١٩ که در نظر بΎیریم فرقͳ نمͳکند). اکنون از
آنجایـͳ که ما فاصلۀ ١٧ را داریم و فاصلۀ ١٨ را نداریم پس باید
حداقل ی΋ͳ از نقاط ٢ یا ١٧ را داشته باشم و چون فاصلۀ ت΋راری
نداریم پس باید دقیقاً ی΋ͳ از دو نقطۀ ٢ یا ١٧ را داشته باشیم. اما
از آنجایـͳ که وضعیت این دو نقطه نسبت به نقاط ٠ و ١٩ متقارن
است پس فرقͳ نمͳکند که کدام یΈ را انتخاب کنیم. بناب
منطق؛ ضامن استدلال ۴٩
نقطۀ سوم را عدد ٢ در نظر مͳگیریم.
حال باید فاصلۀ ١۵ را ایجاد کنیم. این کار با انتخاب ی΋ͳ
از ۴ ،١۵ یا ١٧ حاصل مͳشود. مͳدانیم که حق نداریم ١٧ را
انتخاب کنیم. پس دو انتخاب ۴ یا ١۵ برای ما باقͳ مͳماند. اگر
۴ را انتخاب کنیم فاصلۀ ٢ ت΋راری ایجاد مͳشود و همان طور که
گفتیم این کار درستͳ نیست. پس نقطۀ چهارم را عدد ١۵ در نظر
مͳگیریم.
اکنون فاصلههایـͳ که ایجاد نشده ۴ ،۵ ،٧ و ٨ است. برای
ایجاد فاصلۀ ٧ مͳتوان ی΋ͳ از نقاط ٧ ،٨ ،٩ یا ١٢ را در نظر
گرفت. با انتخاب ٨ یا ٩ فاصلۀ ۶ ایجاد مͳشود که مجاز نیست.
با انتخاب ١٢ فاصلۀ ٣ ایجاد مͳشود که مجاز نیست. لذا ما باید
عدد ٧ را به عنوان نقطۀ پنجم در نظر بΎیریم.
پس نقاط ما ٠ ،٢ ،٧ ،١۵ و ١٩ هستند و لذا k باید برابر ١٢
باشد. ■
٣٩ .سه نفر با نامهای A ،B و C در یΈ اتاق هستند. A یΈ
عدد طبیعͳ بزرگتر از ١ مانند a را طوری که B نفهمد به C
مͳگوید. B نیز یΈ عدد طبیعͳ بزرگتر از ١ مانند b را طوری که
A نفهمد به C مͳگوید. سپس C تصمیم مͳگیرد که مجموع یا
حاصلضرب این دو عدد را بلند اعلام کند. C به A و B مͳگوید
که عدد اعلام شده مجموع یا حاصلضرب عدد آن دو نفر است اما
مشخص نمͳکند که مجموع است یا حاصلضرب. پس از این که
A و B عددی را که C اعلام کرده شنیدند، A به B مͳگوید من
نمͳدانم عدد تو چند است و B نیز به A مͳگوید من هم ن
۵٠ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
که عدد تو چند است. آیا مͳتوانید تعیـین کنید که اعداد A و B
چه عددهایـͳ مͳتوانستهاند باشند؟
حل. مطمئناً شما نمͳتوانید با این اطلاعات عدد A را تعیـین
کنید چون اگر این کار مم΋ن بود B نیز مͳتوانست چنین کاری
را انجام دهد و در نتیجه به A نمͳگفت که من نمͳدانم عدد تو
چند است.
همچنین به سادگͳ معلوم مͳشود که پاس΁ مسأله یΈ عدد
خاص نیست چون اگر این طور بود B مͳتوانست این مسأله را حل
کند و عدد A را تشخیص دهد.
به علاوه این مطلب نیز درست نیست که C صرفاً از یΈ طریق
(مثلا̈ همواره با گفتن مجموع دو عدد) این دو نفر را دچار تردید
کند چون باز هم اگر چنین مͳبود B مͳتوانست دست C را بخواند
و بفهمد که C مجموع دو عدد را اعلام کرده یا حاصلضرب آنها
را.
پس ما باید هر دو حالت مم΋ن را در نظر بΎیریم؛ هم حالتͳ
که C با مجموع گفتن دو نفر دیΎر را دچار تردید کند و هم حالتͳ
که با حاصلضرب گفتن آنها به شΈ بیندازد.
حالت اول. C با گفتن مجموع این دو نفر را دچار تردید
کرده است. در این حالت وقتͳ دو نفر عدد b+a را از C مͳشنوند
چه ف΋ری با خود مͳکنند؟ A با خود ف΋ر مͳکند که عدد B مم΋ن
b+a باشد. چرا A دچار تردید مͳشود و نمͳتواند عدد B
a
است b یا
b+a عددی طبیعͳ است. (مثلا̈ فرض کنید
a
را تعیـین کند؟ چون
عدد A برابر ٣ باشد و او ٨ را از C بشنود. آیا با خود ف΋ر مͳ
منطق؛ ضامن استدلال ۵١
۸ باشد؟)
که عدد B مم΋ن است ۳
همچنین چون B دچار تردید شده است ما مͳتوانیم نتیجه
b+a نیز عددی طبیعͳ است. این دو اتفاق در صورتͳ
b
بΎیریم که
a هر دو طبیعͳ باشند و این
b + ۱ و ۱ +
b
a
مم΋ن است رخ دهد که
یعنͳ b مضرب a و نیز a مضرب b است. در نتیجه در این حالت
باید داشته باشیم b = a .بنابراین اعداد A و B برابر و مثلا̈ برابر
n بودهاند و C عدد ۲n را اعلام کرده است. توجه داریم که باید
حالت استثنایـͳ ۲ = n را کنار بΎذاریم.
حالت دوم. C با گفتن حاصلضرب این دو نفر را دچار تردید
کرده است. در این حالت وقتͳ دو نفر عدد ab را از C مͳشنوند
چه ف΋ری با خود مͳکنند؟ B با خود ف΋ر مͳکند که عدد A مم΋ن
است a یا b−ab باشد. چرا A دچار تردید مͳشود و نمͳتواند عدد
B را تعیـین کند؟ چون b − ab مقسومعلیهͳ از ab است. (مثلا̈
فرض کنید عدد A برابر ٣ و عدد B برابر ١۵ باشد و C عدد ١۵
را اعلام کند. B در ابتدا به اعداد ٣ و ١٠ مش΋وک مͳشود ولͳ با
اندکͳ ف΋ر کردن عدد ١٠ را خط مͳزند چون با خود مͳگوید اگر
عدد A برابر ١٠ مͳبود و عدد ١۵ را از C مͳشنید، هرگز نمͳگفت
که من عدد تو را نمͳدانم چون مطمئن بود که عدد من نمͳتواند
۱۵ باشد.)
۱۰
بنابراین در این حالت باید (۱ − a(b مقسومعلیهͳ از ab باشد
یعنͳ باید ۱ − a مقسومعلیه a باشد و این تنها در صورتͳ ام΋ان
دارد که a برابر ٢ باشد. پس عددهای A و B برابر ٢ و n بوده
است و C عدد ۲n را اعلام کرده است. مجدداً توجه داریم که
باید حالت استثنایـͳ ۲ = n را کنار بΎذار
۵٢ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
۴٠ .عددی چهار رقمͳ مانند abcd داریم که وقتͳ آن را در ۴
ضرب مͳکنیم عدد dcba حاصل مͳشود. این عدد چه عددی
مͳتواند باشد؟
حل. عدد ما نمͳتواند از ٢۵٠٠ بیشتر باشد چون در غیر این
صورت (فرض خلف) وقتͳ این عدد ۴ برابر شود به یΈ عدد ۵
رقمͳ تبدیل خواهد شد که خلاف شرایط مسأله است. پس این
عدد باید عددی بین ١٠٠٠ تا ٢۵٠٠ باشد. در نتیجه a برابر ١
یا ٢ است. اما از آنجایـͳ که dcba چهار برابر یΈ عدد است پس
زوج است و لذا a نمͳتواند برابر ١ باشد. در نتیجه ۲ = a.
حال چون عدد ما بیش از ٢٠٠٠ است پس وقتͳ ۴ برابر
مͳشود عددی بزرگتر از ٨٠٠٠ حاصل خواهد شد و در نتیجه d
برابر ٨ یا ٩ است. اما اگر d برابر ٩ باشد آنΎاه با ضرب کردن این
رقم در ۴ عدد ٣۶ حاصل مͳشود و لذا رقم ی΋ان عدد dcba باید
برابر ۶ باشد که با ۲ = a در تناقض است. پس ۸ = d .با قرار
دادن ٨ به جای d نتیجه مͳگیریم که رقم ی΋ان ۳ + ۴c باید برابر
b باشد و لذا b عددی فرد است. اما b نمͳتواند بیشتر از ۴ باشد
چون عدد ما کمتر از ٢۵٠٠ است. پس b برابر ١ یا ٣ است. اگر
b برابر ٣ باشد آنΎاه با ضرب کردن آن در ۴ به عدد ١٢ مͳرسیم
و لذا یΈ واحد ده بر یΈ در انتها داریم که باید با ۴a جم شود
و عدد ۸ = d را بدهد. از آنجایـͳ که a برابر ٢ است این ام΋ان
ندارد. پس ۱ = b .اکنون با یΈ آزمایش ساده مͳفهمیم که c
برابر ٧ است و لذا عدد مورد نظر ٢١٧٨ مͳباشد. ■
،۶ ،۵ ،۴ ،٣ ،٢ ،١ اعداد با را ۴ × ۴ ΄مرب Έی هایخانه.
منطق؛ ضامن استدلال ۵٣
طوری به کنید پر ١۶ و ١۵ ،١۴ ،١٣ ،١٢ ،١١ ،١٠ ،٩ ،٨ ،٧
که مجموع اعداد سطرها، ستونها و قطرهای آن اعداد متفاوتͳ
باشند.
حل. ابتدا اعداد را به صورت زیر در جدول مͳگذاریم.
١ ٢ ٣ ۴
۵ ۶ ٧ ٨
٩ ١٠ ١١ ١٢
١٣ ١۴ ١۵ ١۶
اکنون با محاسبۀ جم سطرها، ستونها و قطرها مͳبینیم که
جم دو قطر با هم مساوی است. حال جای ١ و ٢ را عوض
مͳکنیم. این جابجایـͳ روی دو ستون و یΈ قطر اثر مͳگذارد و
اکنون جم ها همͳΎ متفاوت هستند.

۴٢ .یΈ صفحه شطرنجͳ ۱۰ × ۱۰ داریم که دو گوشۀ شمال
شرقͳ و جنوب غربͳ آن را برداشتهایم. آیا مͳتوانید با مستطیلهای
۲ × ۱ آن را پوشش دهید؟ چرا؟
حل. این کار ام΋ان ندارد .هر یΈ از مستطیلهای ۲ × ۱ یΈ
خانۀ سیاه و یΈ خانۀ سفید را پوشش مͳدهند. پس اگر قرار باشد
ش΋ل را با چنین مستطیلهایـͳ پوشش دهیم (فرض خلف)، در
آن صورت باید تعداد مستطیلهای سیاه و سفید صفحۀ شطرنجͳ
ما (پس از حذف دو گوشه) با هم برابر باشد و چون دو گوشه
همرنΊ هستند چنین چیزی مم΋ن
۵۴ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
.داریم A = {a, b, c, d, e} مانند عضوی ۵ مجموعۀ Έی. ۴٣
از این مجموعه زیرمجموعههای دو عضوی انتخاب مͳکنیم و
حاصلجم دو عضو هر زیرمجموعه را یادداشت مͳکنیم. اعدادی
که یادداشت کردهایم عبارتند از
۰,۱,۲,۴,۷,۸,۹,۱۰,۱۱,۱۲.
مجموعۀ A را مشخص کنید.
حل. فرض کنیم e < d < c < b < a .چون جم دو تا از عددها
برابر صفر شده پس ی΋ͳ از عددها باید منفͳ باشد. اما ما نمͳتوانیم
دو عدد منفͳ داشته باشیم چون اگر دو تا عدد منفͳ داشته باشیم
(فرض خلف)، در این صورت با جم کردن آنها باید عددی منفͳ
در بین ١٠ عدد داده شده داشته باشیم که درست نیست. پس a
منفͳ است و b مثبت است و چون صفر داریم لذا b = −a.
همچنین d نمͳتواند ۶ یا بیشتر باشد چون اگر چنین شود
(فرض خلف) آنΎاه e نیز ٧ یا بیشتر است و لذا ما باید ١٣ داشته
باشیم که مم΋ن نیست. پس d برابر ٣ ،۴ یا ۵ است. d نمͳتواند
٣ باشد چون در این صورت e باید ٩ باشد و در نتیجه c باید ٢
باشد که موجب مͳشود b برابر ١ و نیز a برابر ۱ −شود که ام΋ان
ندارد. همچنین d نمͳتواند ۴ باشد چون در آن صورت e برابر ٨
خواهد شد و c برابر ۳ مͳشود و b برابر ٢ خواهد شد و a نیز ۲−
مͳشود که مجدداً ام΋ان ندارد.
پس ۵ = d .در نتیجه e برابر ٧ است. اکنون برای درست
کردن ١١ باید c را برابر ۴ بΎیریم و در نتیجه ۳ = b و ۳ = −a.
پس مجموعۀ ما {۷,۵,۴,۳,۳ {−بوده است.
منطق؛ ضامن استدلال ۵۵
۴۴ .a۶۷۹b عددی پن; رقمͳ است که مضرب ۷۲ است. a و b
را بیابید.
حل. برای آن که عددی مضرب ٧٢ باشد باید مضرب ٨ و ٩
باشد. برای آن که مضرب ٨ باشد باید ٣ رقم سمت راست آن
مضرب ٨ باشد و برای آن که مضرب ٩ باشد باید مجموع ارقام
آن مضرب ٩ باشد. پس b باید برابر ٢ باشد و a برابر ٣■ .
۴۵ .جدول زیر را در نظر بΎیرید.
۱ ۴ ۶ ۸
۳ ۱ ۲ ۵
۴ ۲ ۷ ۱
۱ ۲ ۳ ۴
در هر مرحله مͳتوانید همۀ اعداد یΈ سطر را دو برابر کنید یا
از همۀ اعداد یΈ ستون یΈ واحد کم کنید. آیا مͳتوانید همۀ
عددها را به ٠ تبدیل کنید؟
حل. ما نباید کاری کنیم که عدد منفͳ به وجود بیاید چون اگر
عدد منفͳ حاصل شود (فرض خلف) در آن صورت دیΎر با توجه
با اعمال مجاز، نمͳتوانیم آن عدد منفͳ را به صفر تبدیل کنیم.
همچنین باید سعͳ کنیم کل عددهای یΈ ستون را صفر کنیم
چون اگر در یΈ ستون ی΋ͳ از عددها صفر و عددی دیΎر غیر
صفر باشد (فرض خلف) آنΎاه صفر کردن عدد غیر صفر در آن
ستون به وسیلۀ کم کردن یΈ واحد از آن ستون باعث منفͳ شدن
عدد دیΎر که صفر بوده است خواهد شد.
۵۶ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
همچنین برای آن که عددهای یΈ ستون همزمان صفر شوند
باید قبل از آن، همͳΎ با هم مساوی شده باشند. پس ما باید
سعͳ کنیم که عددهای یΈ ستون را مساوی کنیم و سپس آن
ستون را صفر کنیم و پس از آن انجام هر عملیاتͳ روی سطرها یا
روی ستونهای دیΎر باعث خراب شدن ستونͳ که صفر شده است
نخواهد شد.
برای آن که عددهای ستونͳ را صفر کنیم مͳتوانیم به این روش
عمل کنیم: اگر کوچΈترین عدد آن ستون برابر ١ بود همان
سطری که این عدد در آن قرار گرفته است را دو برابر مͳکنیم و
اگر کوچΈترین عدد ستون برابر ١ نبود از کل ستون یΈ واحد،
یΈ واحد کم مͳکنیم تا کوچΈترین عدد برابر ١ شود. این کار
را تا جایـͳ ادامه مͳدهیم که تمام اعداد آن ستون برابر شوند.
مثلا̈ برای اعداد داده شده در این جدول مͳتوانیم روی ستون
اول به این ش΋ل عمل کنیم: ابتدا سطر اول و سطر چهارم را دو
برابر مͳ کنیم. اکنون در ستون اول کوچΈترین عدد برابر ٢ است.
حال یΈ واحد از ستون کم مͳکنیم. مجدداً سطر اول و چهارم
را دو برابر مͳکنیم و از ستون یΈ واحد کم مͳکنیم. حال سطر
اول، دوم و چهارم را دو برابر مͳکنیم و در نتیجه همۀ اعداد ستون
با هم برابر مͳشوند. حال مͳتوان این ستون را صفر کرد. با ادامۀ
این کار، کل جدول صفر مͳشود.
پس مͳتوان گفت هر جدولͳ که اعداد اولیۀ داده شده در آن
طبیعͳ باشند قابل تبدیل به جدولͳ تمام صفر است. ■
۴۶ .در یΈ مسابقۀ ریاضͳ ،سؤالهای ٢ ،٧ و ٨ امتیازی دار
منطق؛ ضامن استدلال ۵٧
چه امتیازهایـͳ در این مسابقه قابل کسب کردن نیست؟
حل. بدیهͳست که هر امتیاز زوجͳ را مͳتوان کسب کرد چون
کافͳست سؤالهای ٢ امتیازی کسب کنیم. برای کسب امتیازهای
فرد بیش از ٧ مͳتوان از یΈ سؤال ٧ امتیازی و چند سؤال ٢
امتیازی استفاده کرد. اما امتیازهای ١ ،٣ و ۵ قابل کسب کردن
نیست چون کمترین امتیاز فرد ٧ است و امتیاز منفͳ هم نداریم.

۴٧ .در یΈ گروه ۵ نفری مجموع سن هر ۴ نفر از ۵ نفر را
یادداشت کردهایم و اعداد زیر به دست آمده است
۱۲۴,۱۲۸,۱۳۰,۱۳۶,۱۴۲.
جوانترین عضو گروه چند سال دارد؟
حل. فرض کنیم e < d < c < b < a .در این صورت وقتͳ
جوانترین فرد را کنار بΎذاریم باید کوچΈترین عدد به دست
بیاید و وقتͳ b را کنار مͳگذاریم باید عدد دوم به دست بیاید و
همین طور تا آخرین نفر. در نتیجه مͳتوان گفت
a + b + c + d = ۱۲۴
a + b + c + e = ۱۲۸
a + b + d + e = ۱۳۰
a + c + d + e = ۱۳۶
b + c + d + e = ۱۴۲.
با کم کردن این معادلهها از ی΋دیΎر متوجه مͳشویم که ع
۵٨ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
ما
a, a + ۶, a + ۱۲, a + ۱۴, a + ۱۸
بودهاند و لذا با توجه به اولین معادله نتیجه مͳگیریم که a برابر ٢٣
است. ■
۴٨ .اعداد n, . . . , ۲,۱ را روی کاغذ نوشتهایم. زیر هر عدد،
مجموع ارقام آن را مͳنویسیم تا فهرست جدیدی ایجاد شود. این
کار را آن قدر ادامه مͳدهیم تا فهرست ایجاد شده با فهرست مرحلۀ
ماقبل آخر ی΋ͳ باشد. n حداقل چند باشد تا پس از ٣ مرحله
فهرست ت΋راری ایجاد نشود؟
حل. وقتͳ فهرست قبلͳ ت΋رار مͳشود که همۀ عددهای آن یΈ
رقمͳ باشند چون اگر حداقل یΈ عدد دو رقمͳ در بین عددهای ما
باشد (فرض خلف) در آن صورت ما عدد ١٠ را در بین عددهایمان
داریم که مجموع ارقام آن ١ مͳشود و لذا دیΎر فهرست نمͳتواند
ت΋راری باشد.
پس ما در مرحلۀ سوم باید عددهای ١ تا ٩ را داشته باشیم که
در مرحلۀ چهارم هم همان عددها ایجاد شود. اما مرحلۀ دوم باید
متفاوت با مرحلۀ سوم باشد و باید کوچΈترین حالتͳ باشد که
چنین اتفاقͳ مͳافتد. لذا در مرحلۀ دوم باید اعداد ١ تا ١٠ را
داشته باشیم. بنابراین در مرحلۀ اول باید عددهایـͳ را داشته باشیم
که باعث به وجود آمدن عدد ١٠ شوند یعنͳ مجموع ارقام ی΋ͳ از
عددها باید ١٠ باشد و این باید کوچΈترین عدد مم΋ن با این
خاصیت باشد. این عدد ١٩ است و لذا ما در مرحلۀ اول باید اعداد
١ تا ١٩ را داشته باشی
منطق؛ ضامن استدلال ۵٩
اما برای آن که در مرحلۀ اول عدد ١٩ حاصل شود باید در
عددهای داده شده عددی را داشته باشیم که مجموع ارقام آن ١٩
شود و کوچΈترین عدد با این خاصیت باشد. این عدد نمͳتواند
دو رقمͳ باشد چون بیشترین مجموع ارقام در اعداد دو رقمͳ عدد
١٨ است که برابر مجموع ارقام عدد ٩٩ مͳباشد. در نتیجه باید در
بین اعداد سه رقمͳ به دنبال کوچΈترین عددی باشیم که مجموع
ارقام آن برابر ١٩ است. این عدد ١٩٩ است. بنابراین ۱۹۹ = n.

۴٩ .اعداد ١ تا ١٣ را روی کاغذ مͳنویسیم و سپس همان اعداد
را با ترتیبͳ دیΎر در زیر آن مͳنویسیم. به این ترتیب ١٣ ستون به
دست مͳآید که در هر ستون دو عدد نوشته شده است. اختلاف دو
عدد هر ستون را به دست مͳآوریم و اعداد حاصل را در هم ضرب
مͳکنیم. ثابت کنید عدد نهایـͳ همیشه زوج است.
حل. اگر عدد نهایـͳ زوج نباشد (فرض خلف) پس ما باید
عددهای فردی را در هم ضرب کرده باشیم یعنͳ باید اختلاف
دو عدد هر ستون عددی فرد باشد. برای آن که اختلاف دو عدد
یΈ ستون عددی فرد باشد باید ی΋ͳ از آنها زوج و دیΎری فرد
باشد. یعنͳ ما باید در زیر هر یΈ از اعداد زوج ١ تا ١٣ عددی
فرد را بنویسیم و در زیر هر عدد فردی، عددی زوج باید نوشته
شود. به این ترتیب باید تعداد اعداد فرد و زوج در بین اعداد ١ تا
١٣ مساوی باشد ولͳ مͳدانیم که در بین این اعداد ٧ عدد فرد و
۶ عدد زوج وجود دارد. پس ام΋ان ندارد که عدد نهایـͳ به دست
آمده فرد باشد. ■
۶٠ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
۵٠ .فرض کنیم (x(P یΈ چندجملهای با ضرایب طبیعͳ باشد.
شما حق دارید دو عدد طبیعͳ مانند x بΎویـید و ما مقدار (x(P را
برای آن دو مقدار به شما خواهیم گفت. آیا به این روش مͳتوانید
بΎویـید (x(P کدام چندجملهای است؟
حل. فرض کنیم به ما گفته باشند که ضرایب این چندجملهای
همͳΎ کوچΈتر از ١٠٠٠ هستند. در این صورت اگر ما به جای
x عدد ١٠٠٠ را قرار دهیم و مقدار آن را محاسبه کنیم آنΎاه سه رقم
سمت راست عدد حاصل نشان دهندۀ جملۀ ثابت این چندجملهای،
سه رقم بعدی نشاندهندۀ ضریب x ،سه رقم بعد از آن نشان دهندۀ
x و به همین ترتیب سه رقمهای بعدی نشاندهندۀ ضرایب
ضریب ۲
بعدی مͳباشد چون در حقیقت ما با قرار دادن ١٠٠٠ به جای x
انΎار نمایش در مبنای ١٠٠٠ عددی را مشخص کردهایم که ارقام
آن همان ضرایب چندجملهای مͳباشد و چون مͳدانیم که ضرایب
کوچΈتر از ١٠٠٠ هستند پس مͳتوانند ارقام در مبنای ١٠٠٠
تلقͳ شوند و ام΋ان ندارد که این رقمها با ی΋دیΎر اشتباه شوند.
اما ١٠٠٠ نقش مهمͳ در این مسأله ندارد و مͳتوانستیم با هر
توانͳ از ١٠ همین حرف را بزنیم. پس در ابتدا به جای x عدد ١
را قرار مͳدهیم تا ببینیم ضرایب چندجملهای از چه توانͳ از ١٠
کوچΈتر هستند و سپس به روش فوق عمل مͳکنیم تا بفهمیم
چند رقم، چند رقم باید از سمت راست در نظر بΎیریم و ضرایب
را بیابیم. ■
۵١ .نقاط روی محیط یΈ دایره را با دو رنΊ آبͳ و قرمز رنΊ
کردهایم. آیا مͳتوان گفت حتماً سه نقطۀ همرنΊ
منطق؛ ضامن استدلال ۶١
دایره وجود دارند که رئوس یΈ مثلث متساوی الاضلاع هستند؟
قائمالزاویه چطور؟ متساویالساقین چطور؟
حل. مͳتوانیم نقاط روی محیط دایره را طوری رنΊ کنیم که
مثلث متساویالاضلاع ت΋رنΊ به وجود نیاید. برای این منظور
کافͳست نیمدایرۀ بالایـͳ را قرمز و نیمدایرۀ پایـینͳ را آبͳ رنΊ
کنیم و دو نقطهای که مرز بین آبͳ و قرمز هستند (که روبروی
هم در دو سر قطر افقͳ دایره قرار گرفتهاند) ی΋ͳ آبͳ و دیΎری
قرمز رنΊ شود. بدین ترتیب مثلث متساویالاضلاع ت΋رنΊ به
وجود نخواهد آمد چون اگر بخواهیم یΈ مثلث متساویالاضلاع
ت΋رنΊ داشته باشیم (فرض خلف) باید هر سه رأس آن در یΈ
نیمدایره باشند و بدین ترتیب کمان روبرو به ی΋ͳ از زاویهها کمتر
از ۶٠ درجه خواهد شد که ام΋ان ندارد. برای پاس΁ دادن به سؤال
مربوط به قائمالزاویه هم همین ش΋ل را مͳتوانیم در نظر بΎیریم
و نتیجه بΎیریم که مͳتوانیم طوری رنΊآمیزی کنیم که مثلث
قائمالزاویۀ ت΋رنΊ حاصل نشود.
اما در مورد مثلث متساویالساقین مͳتوان گفت که نقاط روی
محیط را به هر روشͳ رنΊآمیزی کنیم حتماً مثلث متساویالساقین
ت΋رنΊ ظاهر خواهد شد. برای اثبات این مسأله کافͳست فقط
۵ نقطۀ با فاصلۀ ی΋سان دور دایره در نظر بΎیریم و سعͳ کنیم که
همین ۵ نقطه را رنΊ کنیم. اگر مثلث متساویالساقین ظاهر نشده
باشد (فرض خلف) نباید سه نقطۀ کنار هم همرنΊ باشند و نباید
نقطۀ مقابل دو نقطۀ همرنΊ مجاور هم، همرنΊ آن دو نقطه باشد
که ا
۶٢ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
۵٢ .عدد ١٣٩٢ را مͳنویسم. در هر مرحله مجموع چهار رقم
سمت راست عددی را که نوشتهایم محاسبه مͳکنیم و رقم ی΋ان آن
را در سمت راست عدد نوشته شده اضافه مͳکنیم. به این ترتیب
به دنبالۀ
۱۳۹۲۳۵۷۵۰۷۹. . .
مͳرسیم. آیا عدد ١۴٣۴ ظاهر مͳشود؟
حل. طبق قاعدۀ مذکور برای نوشتن رقمهای بعدی متوجه مͳشویم
که از رقم چهارم به بعد رقمها به صورت زوج، فرد، فرد، فرد، فرد
ت΋رار مͳشوند چون مجموع سه عدد فرد و یΈ عدد زوج، عددی
فرد است و مجموع چهار عدد فرد، عددی زوج مͳباشد. بنابراین
ام΋ان ندارد که عدد ١۴٣۴ ظاهر شود چون در این عدد ما دو رقم
زوج ی΋ͳ در میان داریم. ■
۵٣ .مͳخواهیم در بین اعداد ٩٨٧۶۵۴٣٢١ علامت + قرار
دهیم به طوری که مجموع حاصل برابر ٩٩ شود (مͳتوانید در
بعضͳ جاها که خودتان انتخاب مͳکنید علامت + بΎذارید). به
چند روش این کار مم΋ن است؟
حل. باید بین ٩ و ٨ علامت + بΎذاریم چون اگر این کار را
ن΋نیم (فرض خلف) آنΎاه عدد ٩٨ ظاهر مͳشود و غیرمم΋ن است
که با جم شدن با بقیۀ عددها ٩٩ حاصل شود. به همین دلیل باید
بین ٨ و ٧ نیز + گذاشت. همین دلیل نشان مͳدهد که بین ٧ و ۶
نیز علامت + لازم است. اما در مورد ۶ و ۵ دو حالت وجود دارد.
حالت اول این است که بین این دو عدد علامتͳ نΎذاریم.
منطق؛ ضامن استدلال ۶٣
ما عدد ۶۵ و عددهای ٩ ،٨ و ٧ را داریم که فعلا̈ مجموع ٨٩
حاصل مͳشود و ما باید با چهار رقم باقͳمانده عدد ١٠ را بسازیم
که عبارت
۹ + ۸ + ۷ + ۶۵ + ۴ + ۳ + ۲ + ۱
را به دست مͳدهد.
حالت دوم این است که بین ۶ و ۵ نیز علامت + بΎذاریم. به
این ترتیب یا باید ۵۴ را در نظر بΎیریم که به نتیجه نمͳرسیم و یا
باید بین ۵ و ۴ هم علامت + بΎذاریم. در این صورت به جواب
۹ + ۸ + ۷ + ۶ + ۵ + ۴۳ + ۲۱
مͳرسیم. ■
۵۴ .دو ساعت شنͳ داریم که ی΋ͳ زمان ۴ دقیقه را اندازه مͳگیرد
و دیΎری زمان ۵ دقیقه را. آیا مͳتوانید با این دو ساعت شنͳ زمان
۶ دقیقه را اندازه بΎیرید؟ ٣ دقیقه را چطور؟
حل. هر دو ساعت را همزمان به کار مͳاندازیم. بعد از این که
ساعت شنͳ ۴ دقیقهای تمام شد شروع به زمانگیری مͳکنیم. یΈ
دقیقۀ بعد ساعت شنͳ ۵ دقیقهای تمام مͳشود. در همان لحظه آن
را بر مͳگردانیم و در نتیجه زمان ۶ دقیقه را اندازه گرفتهایم.
برای زمان ٣ دقیقه هر دو ساعت را به کار مͳاندازیم. وقتͳ ۴
دقیقهای تمام شد آن را بر مͳگردانیم. وقتͳ ۵ دقیقهای تمام شد
شروع به زمانگیری مͳکنیم و وقتͳ ۴ دقیقهای تمام شد زمان ٣
دقیقه اندازهگیری شده است. ■
۵۵ .عددی ٨ رقمͳ پیدا کنید که برابر با مجموع ارقامش به توان
۶۴ پیدا کردن پاس΁ مورد نظر
ͳرقم ٩ عددی ۲۲۶
۱۴۶ عددی ٧ رقمͳ است و عدد
حل. عدد
مͳباشد. پس جواب باید ی΋ͳ از اعداد ١۵ ،١۶ ،١٧ ،١٨ ،١٩،
٢٠ یا ٢١ به توان ۶ باشد. با آزمایش مͳبینیم که پاس΁ ۱۸۶ است
که مجموع ارقام آن ١٨ مͳباشد. ■
۵۶ .ثابت کنید مجموعۀ اعداد اول نامتناهͳاست.
حل. فرض کنیم مجموعۀ اعداد اول متناهͳ باشد (فرض خلف)
و p۱ ،. . . ،pn همۀ اعداد اول باشند. عدد ۱ + pn . . . p۱ = a را
در نظر مͳگیریم. این عدد نمͳتواند اول باشد چون از همۀ pi ها
بزرگتر است. بنابراین a مقسومعلیهͳ اول مانند p دارد. اما p باید
ی΋ͳ از اعداد اول p۱ ،. . . ،pn باشد. فرض کنیم pj = p .در این
صورت چون pj مقسومعلیه a و مقسومعلیه pn . . . p۱ است پس pj
باید مقسومعلیه ١ باشد که ام΋ان ندا
۵
کمترین، بیشترین
آنـاکسـاگـوراس: در بـین کـوچΈها
کوچΈترین و در بین بزرگها
بزرگترین وجود ندارد. اما همواره
چیزی هست که کوچΈتر است و
چیزی هست که بزرگتر است.
۵٧ .ما یΈ زنجیر داریم که از ٢١ حلقه تش΋یل شده است. یΈ
قیچͳ فلزبˇر هم داریم که با آن مͳتوانیم هر یΈ از حلقههای زنجیر
را که بخواهیم ببˇریم تا حلقهها از هم جدا شود. این قیچͳ را
نیم ساعت در اختیار ما گذاشتهاند تا با آن هر کدام از حلقههای
زنجیر را که مͳخواهیم ببˇریم. قرار است بعد از این نیم ساعت یΈ
مشتری نزد ما بیاید و از ما حلقۀ زنجیر بخرد. فقط یΈ مشتری
برای ما مͳآید اما این مشتری مم΋ن است از ١ حلقه تا ٢١ حلقه
از ما بخواهد. بنابراین ما باید از قیچͳ استفاده کنیم، برخͳ از
حلقهها را ببˇریم، قیچͳ را پس بدهیم و منتظر مشتری بنشینیم
۶۶ کمترین، بیشترین
این که بدانیم چند حلقه از ما مͳخواهد. یΈ کار که مͳتوانیم
انجام دهیم این است که همۀ حلقهها را ببˇریم تا هر تعدادی حلقه
که از خواسته شد برای فروش داشته باشیم. مسأله این است که ما
مͳخواهیم کمترین برش را بزنیم و از قیچͳ کمتر استفاده کنیم. با
بریدن حداقل چند حلقه مͳتوانید این کار را انجام دهید؟ (توجه
کنید که نمͳتوانید زنجیر را تا کنید و با یΈ برش چند حلقه را
ببˇرید.)
حل. ابتدا دلیل مͳآوریم که با یΈ برش این کار ام΋انپذیر نیست
و سپس با دو برش کار را انجام مͳدهیم.
فرض کنیم بتوانیم با یΈ برش به مقصود خود برسیم (فرض
خلف). در این صورت اگر یΈ حلقه از ما بخواهند مͳتوانیم
همین حلقهای را که بریدهایم به مشتری بدهیم. اما برای این که
بتوانیم دو حلقه به مشتری بدهیم لازم است حلقهای که بریدهایم
حلقۀ شمارۀ ٣ یا حلقۀ شمارۀ ١٩ باشد زیرا به هر حال ما باید یΈ
قطعۀ دو حلقهای در بین قطعاتمان داشته باشیم. به این ترتیب
ما مͳتوانیم ٣ حلقه هم بفروشیم ولͳ دیΎر فروش ۴ حلقه ام΋ان
ندارد.
اکنون نشان مͳدهیم که با دو برش این کار مم΋ن است. اما
بهتر است ما کدام حلقهها را ببˇریم؟ در اینجا فعلا̈ قرار نیست
چیزی را اثبات کنیم بل΋ه کاری را از ما خواستهاند و ما قصد
داریم منطقͳ ف΋ر کنیم تا بتوانیم کار را به درستͳ انجام دهیم.
استفاده از روش آزمون و خطا برای انجام این کار نمͳتواند روش
خوبͳ باشد چون برای انتخاب ٢ حلقه از بین ٢١ ح
منطق؛ ضامن استدلال ۶٧
زیادی وجود دارد و مم΋ن است آزمودن همۀ حالات، وقتگیر
باشد. بهتر است منطقͳ ف΋ر کنیم تا روش مطلوب را بیابیم.
ما قرار است ٢ حلقه را ببˇریم. به این ترتیب برای فروش ١ یا
٢ حلقه مش΋لͳ نخواهیم داشت. اما اگر ٣ حلقه از ما بخواهند
چه باید ب΋نیم؟ اگر ما حلقۀ شمارۀ ۴ را ببˇریم، آنΎاه حلقههای ١،
٢ و ٣ که به هم چسبیده هستند برای فروش ٣ حلقه مناسب است.
اکنون ما از ١ حلقه تا ۵ حلقه را به راحتͳ مͳتوانیم بفروشیم.
پس برای فروش ۶ حلقه چه باید کرد؟ بهتر است ما یΈ قطعۀ ۶
حلقهای هم داشته باشیم. برای این منظور بهتر است حلقۀ شمارۀ
١١ را ببˇریم. اکنون قطعات حلقههای ما به صورت زیر است
۱,۲,۳
۴
۵,۶,۷,۸,۹,۱۰
۱۱
۱۲,۱۳,۱۴,۱۵,۱۶,۱۷,۱۸,۱۹,۲۰,۲۱.
حال اگر قطعۀ ١٠ حلقهای آخر را کنار بΎذاریم، با همان چهار
قطعۀ اولیه مͳتوانیم از ١ حلقه تا ١١ حلقه را بفروشیم. اکنون
با اضافه کردن قطعۀ ١٠ حلقهای آخر مͳتوانیم همۀ اعداد ١ تا
٢١ را درست کنیم. مثلا̈ برای درست کردن ١٧ حلقه مͳتوان به
وسیلۀ چهار قطعۀ اول ٧ حلقه را درست کرد و با افزودن قطعۀ ١٠
حلقهای آخر، ١٧ حلقه درست مͳشود. ■
۵٨ .ما یΈ خطکش ١٢ سانتͳمتری داریم که عد
۶٨ کمترین، بیشترین
١٢ روی آن مشخص شده اما عددی دیΎری روی آن نوشته نشده
است. شما حق دارید از ما بخواهید که ۴ عدد دیΎر را روی
خطکش مشخص کنیم و سپس باید بتوانید توسط این خطکش
همۀ اندازههای ١ تا ١٢ سانتͳمتر را اندازه بΎیرید. چه عددهایـͳ
را پیشنهاد مͳدهید؟ (توجه کنید که پس از مشخص شدن این
اعداد، هر اندازهای باید فقط با یΈبار استفاده از خطکش اندازهگیری
شود.) آیا مͳتوانید با مشخص کردن ٣ عدد غیر از ٠ و ١٢ روی
خطکش این کار را انجام دهید؟
حل. برای آن که بتوانیم فاصلۀ ١١ سانتͳمتر را با چنین خطکشͳ
اندازهگیری کنیم باید حتماً ی΋ͳ از عددهای ١ یا ١١ روی خطکش
مشخص شده باشد و چون فرقͳ نمͳکند که کدام یΈ باشد بنابراین
ی΋ͳ از عددهای پیشنهادی ما که باید روی خطکش مشخص
شود عدد ١ است. حال برای آن که بتوانیم ٢ سانتͳمتر را اندازه
بΎیریم بهتر است عدد ٣ مشخص باشد چون به این ترتیب هم
٢ را مͳتوانیم اندازه بΎیریم و هم ٣ .اکنون برای آن که بتوانیم
۴ سانتͳمتر را اندازه بΎیریم بهتر است عدد ٧ برای ما مشخص
شده باشد چون با مشخص شدن این عدد اکنون مͳتوانیم تمام
اندازههای از ١ تا ٧ سانتͳمتر را اندازه بΎیریم. (توجه کنید که
مثلا̈ ۵ سانتͳمتر فاصلۀ بین ٧ تا ١٢ است.) حال اگر عدد ١١ را
هم مشخص کنیم، همۀ اعداد قابل اندازهگیری است.
اکنون اثبات مͳکنیم که این کار با ٣ عدد ام΋انپذیر نیست.
فرض کنیم کسͳ بتواند با مشخص کردن ٣ عدد مثلا̈ با نامهای
a ،b و c این کار را انجام دهد که c < b <
منطق؛ ضامن استدلال ۶٩
چنین خطکشͳ مͳتوان اندازههای
a, b, b − a, c, c − a, c − b,۱۲,۱۲ − a,۱۲ − b,۱۲ − c
را اندازهگیری کرد. این اندازهها (حتͳ به فرض متمایز بودن) ١٠
اندازه هستند و ما مͳخواهیم ١٢ اندازۀ مختلف را اندازهگیری
کنیم. پس با ٣ عدد این کار مم΋ن نیست. ■
۵٩ .چهار نفر در یΈ سوی رودخانهای ایستادهاند مͳخواهند به
طرف دیΎر بروند. آنها باید از پل عبور کنند اما پلͳ که روی
رودخانه است قدیمͳ و فرسوده شده و در هر لحظه بیشتر از دو نفر
نمͳتوانند روی پل باشند. چون شب است و هوا تاریΈ است آنها
باید یΈ وسیلۀ روشنایـͳ برای عبور از رودخانه داشته باشند. آنها
فقط یΈ فانوس دارند و وقتͳ دو نفر با فانوس مͳروند، یΈ نفر
باید فانوس را برگرداند. مسأله این است که یΈ نفر از آنها جوان
است مͳتواند در عرض ١ دقیقه از رودخانه عبور کند، دیΎری در
٢ دقیقه، سومͳ در ۵ دقیقه و نفر آخر که کمͳ پیر است به ١٠
دقیقه زمان برای عبور از رودخانه احتیاج دارد. در صورتͳ که مثلا̈
دومͳ و چهارمͳ با هم عبور کنند، دومͳ باید به احترام چهارمͳ
آهسته حرکت کند و در نتیجه این دو نفر نیز برای عبور از رودخانه
به ١٠ دقیقه زمان احتیاج دارند. به آنها خبر دادهاند که ١٨ دقیقۀ
بعد سیلͳ از راه مͳرسد و پل را خراب مͳکند. آنها چطور مͳتوانند
از رودخانه عبور کنند؟
حل. برای حل این گونه مسائل معمولا˦ افراد از روشͳ به نام روش
حریصانه استفاده مͳکنند. در این روش شما فقط به انجام کار در
همان لحظه ف΋ر مͳکنید و این که در آن لحظه چه کاری
٧٠ کمترین، بیشترین
دهید که فایدۀ بیشتری برای شما داشته باشد. مسألههای زیادی
وجود دارد که روش حریصانه برای حل آنها مفید واق مͳشود و
در برابر آن مسائلͳ نیز وجود دارد که روش حریصانه اصلا̈ کارساز
نیست. مثلا̈ فرض کنید شما در حال بازی شطرن; هستید و حریف
شما مهرۀ وزیرش را جلوی سرباز شما مͳگذارد تا آن را بزنید.
روش حریصانه به شما مͳگوید که این کار در این لحظه خیلͳ
خوب است اما اگر حریصانه ف΋ر ن΋نید و به چند حرکت بعدی نیز
توجه داشته باشید متوجه مͳشوید که این کار مم΋ن است چندان
سودمند نباشد.
برای حل این مسأله به دو ش΋ل مͳتوان حریصانه ف΋ر کرد.
ش΋ل اول این است که شما در هر لحظه قصد داشته باشید که
مأموریت بازگرداندن فانوس را به نفر اول بسپارید تا زمان کمتری
را برای بازگرداندن فانوس تلف کنید. اگر به این ش΋ل ف΋ر کنید
باید اولͳ و دومͳ را در ٢ دقیقه بفرستید، اولͳ در ١ دقیقه فانوس
را برگرداند، اولͳ و سومͳ در ۵ دقیقه بروند، اولͳ فانوس را در ١
دقیقه برگرداند و نهایتاً اولͳ و چهارمͳ در ١٠ دقیقه به طرف دیΎر
رودخانه بروند. بدین ترتیب شما ١٩ دقیقه وقت لازم دارید که
در این فاصله سیل مͳآید و پل را خراب مͳکند. پس این روش
حریصانه کارساز نیست.
روش دیΎری که مͳتوان به مسأله به ش΋ل حریصانه ف΋ر کرد
این است که شما سعͳ داشته باشید که بالاخره سومͳ و چهارمͳ را
با هم از روی پل عبور دهید. به این روش کاری را که قرار بوده در
۵+۱۰ دقیقه انجام دهید در ١٠ دقیقه انجام خواهید داد و مم΋ن
است موفق شوید که مسأله را حل کنید. اما چطور مͳتوان سوم
منطق؛ ضامن استدلال ٧١
و چهارمͳ را با هم از روی پل عبور داد؟ چه کسͳ باید مسئول
برگرداندن فانوس باشد؟ ی΋ͳ از این دو نفر؟ اگر کمͳ منطقͳ ف΋ر
کنید متوجه مͳشوید که برگرداندن فانوس توسط ی΋ͳ از افراد سوم
یا چهارم اصلا̈ به صلاح نیست. پس بهترین کار این است که قبلا̈
کسͳ را فرستاده باشید تا وقتͳ سومͳ و چهارمͳ با هم از پل عبور
مͳکنند، آن فردی که از قبل آنجا بوده فانوس را برگرداند.
با این توضیحات مͳتوان به روش حل مسأله دست پیدا کرد.
کافͳست در ابتدا اولͳ و دومͳ را در ٢ دقیقه عبور دهید، سپس
اولͳ در ١ دقیقه فانوس را برگرداند، بعد سومͳ و چهارمͳ را در
١٠ دقیقه عبور دهید، بعد دومͳ در ٢ دقیقه فانوس را برگرداند و
نهایتاً اولͳ و دومͳ در ٢ دقیقه از پل عبور کنند. به این ترتیب شما
به ١٧ دقیقه زمان احتیاج دارید. اما چرا در صورت مسأله گفته
شده که ١٨ دقیقۀ دیΎر سیل مͳآید؟ مسأله این است که این افراد
باید ١ دقیقه وقت داشته باشند تا روش مطلوب را بیابند و سپس
طͳ ١٧ دقیقه از پل عبور کنند!
باز هم توجه به این ن΋ته ضروری است که استفاده از برهان
خلف صرفاً برای اثبات یΈ ح΋م نیست بل΋ه گاهͳ اوقات لازم
است که شما به شیوۀ منطقͳ ف΋ر کنید، روشهای نامطلوب را با
استفاده از برهان خلف کنار بΎذارید و بعد راه درست برای انجام
کار را پیدا کنید. ■
۶٠ .عدد ٣١ را در نظر بΎیرید. این عدد را به صورت مجموع
چند عدد طبیعͳ مͳنویسیم و حاصلضرب اعداد به کار رفته را
محاسبه مͳکنیم. قصد داریم اعداد طبیعͳ به کار رفته را طو
٧٢ کمترین، بیشترین
انتخاب کنیم که حاصلضرب محاسبه شده بیشترین مقدار مم΋ن
را داشته باشد. چه اعدادی را باید به کار ببریم؟
حل. ابتدا باید ببینیم بهتر است عددهای کوچΈتری را به کار
ببریم یا اعداد بزرگتر. مثلا̈ مͳتوانیم عدد ٣١ را به صورت
۳۱ = ۲۵ + ۵ + ۱
بنویسیم. در این صورت حاصلضرب ۱×۵×۲۵ به دست مͳآید.
اما اگر مثلا̈ ٣١ را به صورت
۳۱ = ۲۵ + ۳ + ۳
بنویسیم آنΎاه حاصلضرب ۳ × ۳ × ۲۵ حاصل مͳشود. کدام
حالت بهتر است؟
مͳتوان گفت بهترین کار این است که ما اعداد ١ ،٢ یا ٣ را
به کار ببریم چون اگر مثلا̈ عدد ۴ را به کار ببریم (فرض خلف)
نوشتن ۲ + ۲ به جای ۴ تفاوتͳ ایجاد نمͳکند و اگر ۵ را به کار
ببریم نوشتن ۳+۲ بهتر است چون حاصلضرب ۶ را ایجاد مͳکند
و به همین ترتیب برای اعداد بزرگتر واض΀ است که مثلا̈ نوشتن
۲) + ۲ − n (بهتر از نوشتن n است.
حال ببینیم برای به کار بردن اعداد ١ ،٢ یا ٣ بهتر است از هر
کدام چند بار استفاده کنیم. اگر ما دو بار از ١ استفاده کرده باشیم
بهتر است که به جای آن از عدد ٢ استفاده کنیم. همچنین اگر ما به
جای سه بار استفاده از ٢ ،دو بار از ٣ استفاده کنیم بهتر است چون
گرچه ۳ + ۳ = ۲ + ۲ + ۲ ولͳ سه بار استفاده از ٢ حاصلضرب
٨ را به ما مͳدهد ولͳ دو بار استفاده از ٣ حاصلضرب ٩ را ایجاد
مͳکند. پس بهتر است حداکثر یΈ بار ١ و حداکثر دو
منطق؛ ضامن استدلال ٧٣
به کار ببریم و بقیۀ عددهای به کار رفته را ٣ انتخاب کنیم. با این
استدلال ما مͳتوانیم عدد ٣١ را صورت ده تا ٣ و ی΋ͳ ١ بنویسیم
یا به صورت ٩ تا ٣ و دو تا ٢ .کدام یΈ بهتر است؟ یΈ محاسبۀ
۳ است و لذا بیشترین
۳ بزرگتر از ۱۰
ساده نشان مͳدهیم که ۴ ×۹
۳ است. ■
حاصلضرب مم΋ن ۴ × ۹
۶١ .یΈ عدد دو رقمͳ را بر مجموع ارقامش تقسیم مͳکنیم.
بیشترین باقیماندۀ مم΋ن چند است؟
حل. بیشترین باقیماندۀ مم΋ن وقتͳ اتفاق مͳافتد که مقسومعلیه
بزرگتری را در نظر بΎیریم. بنابراین باید به سراغ عددهایـͳ برویم
که مجموع ارقام آنها بزرگتر است. مجموع ارقام یΈ عدد دو
رقمͳ حداکثر مͳتواند برابر ١٨ باشد و لذا بیشترین باقیماندۀ مم΋ن
حداکثر برابر ١٧ خواهد بود. اما ببینیم آیا واقعاً ١٧ مͳتواند اتفاق
بیفتد. برای آن که ١٧ اتفاق بیفتد باید مقسومعلیه ١٨ باشد و تنها
عددی که مجموع ارقامش ١٨ است عدد ٩٩ مͳباشد که باقیماندۀ
٩٩ بر ١٨ برابر ٩ است. پس این حالت اصلا̈ ام΋ان ندارد.
حال اجازه دهید باقیماندۀ ١۶را آزمایش کنیم. برای این منظور
مجموع ارقام باید حداقل ١٧ باشد و تنها اعداد مم΋ن ٩٨ و ٨٩
هستند (عدد ٩٩ قبلا̈ آزمایش شده است). باقیماندۀ تقسیم ٩٨
بر ١٧ برابر ١٣ است و باقیماندۀ ٨٩ بر ١٧ برابر ۴ است. پس
این حالت نیز مم΋ن نیست.
اکنون باقیماندۀ ١۵ را آزمایش مͳکنیم. برای این منظور
مقسومعلیه باید حداقل ١۶ باشد و لذا باید اعدادی را در نظر
بΎیریم که مجموع ارقام آنها برابر ١۶ است (دقت کنید که م
٧۴ کمترین، بیشترین
مقسومعلیههای بزرگتر را در نظر گرفتهایم). این اعداد ٩٧ ،٨٨
و ٧٩ هستند. باقیماندۀ ٩٧ بر ١۶ برابر ١ و باقیماندۀ ٨٨ بر ١۶
برابر ٨ است. اما باقیماندۀ ٧٩ بر ١۶ برابر ١۵ است و لذا پاس΁
مسأله ١۵ مͳباشد که از طریق تقسیم ٩٧ بر ١۶ به دست مͳآید.

۶٢ .یΈ ساختمان که ٣٧ طبقه دارد را در نظر بΎیرید. ما دو
کرۀ مثل هم داریم که اگر از طبقهای مشخص (یا طبقات بالاتر
از آن) به پایـین انداخته شوند مͳش΋نند ولͳ با انداختن از طبقات
پایـینتر از آن نمͳش΋نند. شما حق دارید ی΋ͳ از آنها را از طبقهای
به پایـین بیندازید تا آن طبقۀ مشخص را پیدا کنید. اگر ی΋ͳ از
آنها بش΋ند مͳتوانید از کرۀ دیΎر استفاده کنید. اگر اجازه داشته
باشید فقط ٨ بار عمل پایـین انداختن را انجام دهید آیا مͳتوانید
آن طبقۀ مشخص را تعیـین کنید؟
حل. اجازه دهید ببینیم اولین آزمایش ما بهتر است از چه طبقهای
باشد. اگر اولین آزمایش را از ی΋ͳ از طبقههای پایـین انجام
دهیم مش΋لͳ که ایجاد مͳشود این است که با آزمایشهای بعدی
نمͳتوانیم به طبقۀ سͳ و هفتم برسیم. مثلا̈ فرض کنید آزمایش
اول را از طبقۀ هفتم انجام دهیم. به این ترتیب اگر کرۀ ما نش΋ند
آنΎاه ما به ی΋ͳ از طبقات ٨ تا ٣٧ مش΋وک مͳشویم و با انجام
٧ پرتاب دیΎر نمͳتوانیم همۀ طبقهها را آزمایش کنیم چون طبقۀ
بعدی مورد آزمایش ما نمͳتواند بالاتر از طبقۀ ١۴ باشد چون اگر
مثلا̈ کره را از طبقۀ ١۵ بندازیم و بش΋ند دیΎر نمͳتوانیم با یΈ
کرۀ باقیمانده و ۶ پرتاب مجاز همۀ طبقههای ٨
منطق؛ ضامن استدلال ٧۵
١٢ ،١٣ و ١۴ را مورد بررسͳ قرار دهیم.
همچنین مͳتوان استدلال کرد که آزمایش اول نمͳتواند بالاتر
از طبقۀ هشتم باشد چون اگر آزمایش اول مثلا̈ از طبقۀ ٩ باشد و
کرۀ ما بش΋ند در آن صورت با ٧ پرتاب باقیمانده نمͳتوانیم همۀ
طبقات اول تا هشتم را مورد بررسͳ قرار دهیم.
با این توضیحات متوجه مͳشویم که بهترین کار این است که
آزمایش اول را از طبقۀ ٨ انجام دهیم. اکنون اگر کرۀ ما بش΋ند
مͳتوانیم کرۀ دوم را از طبقۀ اول بیندازیم و رو به بالا تا طبقۀ هفتم
حرکت کنیم و هر جا بش΋ند به پاس΁ رسیدهایم.
اما اگر در آزمایش اول کره نش΋ند آنΎاه باید به طبقۀ ١۵ برویم.
اگر در پرتاب دوم کره بش΋ند باید کرۀ دوم را از طبقۀ ٩ تا ١۴
مورد آزمایش قرار دهیم و اگر نش΋ند باید به طبقۀ ٢١ برویم. به
همین ترتیب آزمایش بعدی را از طبقۀ ٢۶ انجام مͳدهیم. اگر
بش΋ند طبقات ٢٢ تا ٢۵ را آزمایش مͳکنیم و اگر نش΋ند به طبقۀ
٣٠ مͳرویم. طبقات بعدی نیز ٣٣ ،٣۵ و ٣۶ است و اگر هیͿ
کدام از پرتابها موجب ش΋ستن کره نشد نتیجه مͳگیریم که طبقۀ
٣٧ همان طبقۀ مورد نظر مسأله است. ■
۶٣ .سͳ وزنه با وزنهای مختلف داریم که وزن هر کدام حداکثر
یΈ کیلوگرم است. این وزنهها دارای این خاصیت هستند که اگر
به هر ش΋لͳ آنها را به دو دسته تقسیم کنیم وزن ی΋ͳ از دستهها
حداکثر یΈ کیلوگرم است. وزن کل وزنهها حداکثر چند کیلوگرم
است؟ آیا مͳتوانید مثالͳ بزنید که این مجموع حداکثر اختیار
٧۶ کمترین، بیشترین
حل. وزنهها را از ١ تا ٣٠ شمارهگذاری مͳکنیم. وزنۀ ١ را در
نظر مͳگیریم. وزن این وزنه حداکثر یΈ کیلوگرم است. وزنۀ ٢
را به آن اضافه مͳکنیم. مم΋ن است وزن این دو وزنه با هم نیز
حداکثر یΈ کیلوگرم باشد. اگر چنین بود وزنۀ سوم را هم اضافه
مͳکنیم و این کار را آن قدر ادامه مͳدهیم تا به وزنهای برسیم
که وقتͳآن را به وزنههای قبلͳ اضافه مͳکنیم وزن کل وزنهها از
یΈ کیلوگرم بیشتر شود. مثلا̈ فرض کنیم شمارۀ این وزنه k باشد.
بنابراین وزن مجموع وزنههای ١ تا ۱ − k حداکثر یΈ کیلوگرم
است و وزن مجموع وزنههای ١ تا k از یΈ کیلوگرم بیشتر است.
اکنون چون مجموع این k وزنه از یΈ کیلوگرم بیشتر شده پس طبق
فرض مسأله باید مجموع وزن وزنههای دستۀ دیΎر، یعنͳ مجموع
وزن وزنههای ۱ + k تا ٣٠ ،حداکثر یΈ کیلوگرم باشد. پس
مجموع وزن وزنههای ١ تا ۱−k حداکثر یΈ کیلوگرم است، وزن
وزنۀ k حداکثر یΈ کیلوگرم است و مجموع وزن وزنههای ۱ + k
تا ٣٠ نیز حداکثر یΈ کیلوگرم است. در نتیجه مجموع وزن کل
وزنهها حداکثر سه کیلوگرم خواهد بود.
حال ببینیم آیا ام΋ان دارد مجموع کل وزنهها دقیقاً سه کیلوگرم
باشد. اگر ما فقط ٣ وزنه مͳداشتیم مͳتوانستیم هر کدام را یΈ
کیلوگرمͳ در نظر بΎیریم و در این صورت شرایط مسأله برقرار
مͳشد. اما برای مثلا̈ ۴ وزنه چه مثالͳ مͳتوان آورد؟
ما نباید ۴ وزنۀ بیش از نیم کیلو گرمͳ داشته باشیم چون اگر
در بین وزنههای ما ۴ وزنۀ بیش از نیم کیلویـͳ باشد (فرض خلف)
در آن صورت مͳتوانیم دو تا از آنها را در یΈ دسته و دو تای دیΎر
را در دستۀ دیΎر قرار دهیم و به ترتیب وزن هر
منطق؛ ضامن استدلال ٧٧
یΈ کیلوگرم خواهد شد که خلاف شرایط مسأله است.
اما ما مͳتوانیم سه وزنۀ خیلͳ نزدیΈ به یΈ کیلوگرم (مثلا̈
یΈ هزارم گرم کمتر از یΈ کیلو) داشته باشیم و و بقیۀ وزنهها را
طوری انتخاب کنیم که مجموع کل آنها از میزان کسری مجموع
آن سه وزنه نسبت به سه کیلو کمتر باشد (مثلا̈ بقیه طوری باشند که
جم کل آنها از سه هزارم کمتر شود). در این صورت جم کل
اندکͳ کمتر از سه کیلوگرم است و شرایط مسأله نیز برقرار مͳشود.
ادعا مͳکنیم نمͳتوانیم وزنهها را طوری انتخاب کنیم که جم
کل آنها دقیقاً برابر سه کیلوگرم شود چون اگر قرار باشد که جم
کل سه کیلوگرم باشد (فرض خلف) پس باید مجموع کل وزنههای
دیΎر (غیر از آن سه وزنۀ نزدیΈ به یΈ کیلوگرمͳ (دقیقاً برابر
مقدار کسری مجموع آن سه وزنه نسبت به سه کیلوگرم باشد. به
این ترتیب اگه ما دو تا از وزنههای نزدیΈ به یΈ کیلوگرم را در
یΈ دسته قرار دهیم و ی΋ͳ از وزنههای نزدیΈ به یΈ کیلوگرم
را با وزنههای دیΎر در یΈ دستۀ دیΎر قرار دهیم آنΎاه هر یΈ از
دستهها بیش از یΈ کیلوگرم خواهد بود و این با شرایط مسأله در
تناقض است. ■
۶۴ .شما از ۶ موسیقیدان برای اجرای یΈ جشنوارۀ موسیقͳ
دعوت کردهاید. در این جشنواره مم΋ن است چند کنسرت موسیقͳ
برگزار شود. لازم نیست که در هر کنسرت از همۀ موسیقدانها برای
اجرا استفاده کنید. وقتͳ چند موسیقیدان در حال اجرا هستند بقیۀ
افراد در بین تماشاچͳها مͳنشینند و موسیقͳ اجرا شده را گوش
مͳدهند. به این ترتیب کسانͳ که بین تماشاچیان نشسته
٧٨ کمترین، بیشترین
دوستان اجرا کنندۀ خود را مͳشنوند ولͳ خود افرادی که در حال
اجرا هستند موسیقͳ ی΋دیΎر را نمͳشنوند. شما مͳخواهید طوری
جشنواره را برنامهریزی کنید که هر یΈ از موسیقیدانها، موسیقͳ
هر یΈ از افراد دیΎر را بشنود. ی΋ͳ از راهها این است که شما
شش اجرا بΎذارید که در هر یΈ از اجراها یΈ نفر اجرا کند و
پن; نفر دیΎر بین تماشاچͳها بنشینند. ما مͳخواهیم با کمترین
تعداد اجرا این کار را انجام دهیم. این کمترین تعداد چند است؟
اجراها را چΎونه برنامهریزی مͳکنید؟
حل. ابتدا اجازه دهید تخمینͳ برای این کمترین تعداد داشته
باشیم. شما باید کاری کنید که هر یΈ از موسیقیدانان، موسیقͳ
هر یΈ از افراد دیΎر را بشنود. به این ترتیب برای هر یΈ از
افراد، شما باید ۵ کار انجام دهید و در نتیجه ٣٠ کار مختلف
را باید برنامهریزی کنید. اگر یΈ نفر اجرا کننده باشد و پن; نفر
شنونده، آنΎاه ۵ تا از کارهای مورد نظر شما انجام مͳشود. اگر
٢ اجرا کننده داشته باشم و ۴ شنونده، آنΎاه ٨ کار انجام مͳشود
(مثلا̈ اگر ١ و ٢ اجرا کننده باشند و ٣ ،۴ ،۵ و ۶ شنونده باشند
آنΎاه ٣ موسیقͳ ١ و ٢ را شنیده است، ۴ موسیقͳ ١ و ٢ را شنیده
است، ۵ موسیقͳ ١ و ٢ را شنیده است و ۶ نیز موسیقͳ ١ و ٢ را
شنیده است و لذا ٨ تا از کارهای شما انجام شده است). اما اگر ٣
اجرا کننده و ٣ شنونده داشته باشیم آنΎاه ٩ تا از کارهای ما انجام
مͳشود. پس بهترین کار این است که ما اجراهایـͳ را برنامهریزی
کنیم که در آنها ٣ نفر اجرا کننده باشند و ٣ نفر شنونده. به این
ترتیب با هر اجرا ٩ کار انجام مͳشود و اگر در بهتری
منطق؛ ضامن استدلال ٧٩
کارهای ت΋راری هم انجام ندهیم، آنΎاه با ٣ کنسرت ما مͳتوانیم
حداکثر ۹ × ۳ یعنͳ ٢٧ کار را انجام دهیم و چون ما ٣٠ کار
برای انجام دادن داریم لذا نتیجه مͳگیریم که ٣ کنسرت برای به
مقصود رسیدن کافͳ نیست.
با این توضی΀ ما باید به دنبال برنامهریزی برای ۴ کنسرت
یا بیشتر باشیم. اگر بتوانیم با ۴ کنسرت کارمان را انجام دهیم
کمترین تعداد کنسرتها که مطلوب مسأله است برابر ۴ خواهد
شد. خوشبختانه این کار با ۴ اجرا مم΋ن است.
همان طور که دیدیم باید در اجراها ٣ اجرا کننده و ٣ شنونده
داشته باشیم. در مورد اجرای اول فرقͳ نمͳکند که کدام سه نفر را
انتخاب کنیم. لذا برای اولین اجرا مͳتوان تصمیم گرفت که ١،
٢ و ٣ اجرا کننده باشند و ۵،۴ و ۶ شنونده. به این ترتیب ما باید
اجراهای بعدی را طوری برنامهریزی کنیم که ١ ،٢ و ٣ اجراهای
ی΋دیΎر را بشنوند. برای این کار بهتر است در اجرای دوم ١ اجرا
کننده باشد، در اجرای سوم ٢ اجرا کننده باشد و در اجرای چهارم
نیز ٣ اجرا کننده باشد. اکنون باید مش΋ل ۴ ،۵ و ۶ را نیز حل
کنیم. برای این کار بهتر است در اجرای دوم ۴ و ۵ اجرا کننده
باشند، در اجرای سوم ۴ و ۶ اجرا کننده باشند و در اجرای چهارم
نیز ۵ و ۶ اجرا کننده باشند. پس برنامۀ اجراها مͳتواند به ش΋ل
زیر باشد
۱۲۳,۱۴۵,۲۴۶,۳۵۶.
به سادگͳ مͳتوان بررسͳ کرد که با این ۴ اجرا هدف مسأله تأمین
مͳشود
٨٠ کمترین، بیشترین
۶۵ .حداکثر چند اسب مͳتوان در صفحۀ شطرن; قرار داد به
طوری که ی΋دیΎر را تهدید ن΋نند؟
حل. از آنجایـͳ که اسب نمͳتواند خانۀ همرنΊ خود را تهدید
کند در ابتدا به نظر مͳرسد که اگر همۀ اسبها را در خانههای
همرنΊ) مثلا̈ سیاه) قرار دهیم آنΎاه هیͿ کدام ی΋دیΎر را تهدید
نخواهند کرد. به این ترتیب ما مͳتوانیم ٣٢ اسب در صفحۀ
شطرن; بΎذاریم که ی΋دیΎر را تهدید ن΋نند. اما قسمت جالب
مسأله این است که چΎونه مͳتوانیم اثبات کنیم که ٣٢ بزرگترین
عدد مم΋ن است؟
اجازه دهید ابتدا مسأله را برای یΈ مستطیل ۴ × ۲ بررسͳ
کنیم. در چنین مستطیلͳ حداکثر چند اسب مͳتوان قرار داد که
ی΋دیΎر را تهدید ن΋نند؟ به سادگͳ مͳتوان دید که هر یΈ از
خانههای این مستطیل فقط یΈ خانۀ دیΎر را تهدید مͳکند.
⋆ ♦ ■ ▲
■ ▲ ⋆ ♦
بنابراین نمͳتوان در هر دو خانهای که ش΋ل آنها ی΋سان است
اسب قرار داد چون ی΋دیΎر را تهدید مͳکنند. در نتیجه حداکثر
۴ اسب مͳتوان در چنین مستطیلͳ قرار داد. اکنون از آنجایـͳ که
صفحۀ شطرن; از ٨ مستطیل ۴ × ۲ تش΋یل شده است و در هر
مستطیلͳ حداکثر ۴ اسب مͳتوانیم قرار دهیم پس بیشتر از ٣٢
اسب نمͳتوان در صفحۀ شطرن; گذاشت. ■
۶۶ .حداکثر چند فیل مͳتوان در صفحۀ شطرن; قرار داد به طوری
که ی΋دیΎر را تهدید ن
منطق؛ ضامن استدلال ٨١
حل. اگر خطوط مورب صفحۀ شطرن; را از شمال غربͳ به سمت
جنوب شرقͳ با اعداد ١ تا ١۵ شمارهگذاری کنیم مͳبینیم که بیشتر
از ١۵ فیل نمͳتون در صفحه گذاشت و به علاوه گذاشتن ١۵ فیل
نیز غیرمم΋ن است چون اگر بخواهیم ١۵ فیل بΎذاریم (فرض
خلف)، باید در خط مورب شمارۀ ١ و خط مورب شمارۀ ١۵ که
هر کدام فقط یΈ خانه دارند هر کدام یΈ فیل قرار دهیم (در هر
یΈ از این ١۵ خط مورب حداکثر یΈ فیل مͳتوان گذاشت) و
چون این دو خانه ی΋دیΎر را تهدید مͳکنند پس این کار ام΋انپذیر
نیست.
حال که فهمیدیم ١۵ فیل نمͳتوانیم بΎذاریم پس اگر بتوانیم
١۴ فیل را در صفحه قرار دهیم مسأله حل شده است. اما قرار دادن
١۴ فیل کار سختͳ نیست. کافͳست ٨ فیل در سطر اول و ۶ فیل
در سطر آخر (غیر از دو خانۀ سمت راست و سمت چپ سطر آخر)
قرار دهیم. ■
۶٧ .اتاقͳ به ش΋ل یΈ مرب ۴×۴ است که برای سرامیΈ کردن
کف آن به ١۶ سرامیΈ نیاز داریم. وقتͳ برای خرید سرامیΈ به
بازار رفتیم متوجه شدیم که سرامیΈها به ش΋ل مستطیلهای ۲×۱
هستند. ما ٨ سرامیΈ مستطیلͳ ش΋ل خریدهایم و مͳخواهیم با
آنها کف اتاق را سرامیΈ کنیم. از یΈ استاد سرامیΈکار برای
انجام این کار دعوت کردهایم. قبل از آن که او کارش را شروع
کند ما مͳخواهیم تعدادی از سرامیΈهای مستطیلͳ را قرار دهیم
به طوری که او برای گذاشتن بقیۀ سرامیΈها حق انتخاب نداشته
باشد. حداقل چند سرامیΈ را ما باید قرار
٨٢ کمترین، بیشترین
حل. ی΋ͳ از راههای گذاشتن سرامیΈها این است که آنها را به
ش΋ل زیر قرار دهیم.

⋆ ⋆ ■
▲ ♦ ♦

به این ترتیب گذاشتن بقیۀ سرامیΈها به ش΋لͳ منحصر به فرد
ام΋انپذیر است و اگر هر یΈ از این چهار سرامیΈ را برداریم
آنΎاه برای گذاشتن بقیۀ سرامیΈها حق انتخاب به وجود خواهد
آمد. اما ۴ کمترین تعداد مم΋ن نیست!
ما مͳتوانیم این چهار سرامیΈ را در نظر نΎیریم و سه سرامیΈ
به ش΋ل زیر بΎذاریم.
■ ■
▲ ♦ ♦

گرچه هیͿ یΈ از این سه سرامیΈ را هم نمͳتوان حذف کرد
ولͳ ٣ هم کمترین تعداد مم΋ن نیست!
ما مͳتوانیم با دو سرامیΈ هم به مقصود خود برسیم. ش΋ل
زیر را ببینی
منطق؛ ضامن استدلال ٨٣
■ ■
▲ ▲
و به سادگͳ مͳتوان دید که گذاشتن یΈ سرامیΈ کافͳ نیست.
پس کمترین تعداد سرامیΈ برای رسیدن به مقصود، دو سرامیΈ
است.

۶٨ .در یΈ جنΎل ١٠٠ ردیف درخت داریم که در هر ردیف
١٠٠ درخت وجود دارد. مͳخواهیم بعضͳ از این درختها را قط
کنیم به طوری که وقتͳ روی درختͳ قط شده مͳایستیم درختͳ قط
شده در همسایͳΎ ما نباشد. حداکثر چند درخت را مͳتوانیم قط
کنیم؟
حل. اگر در سطر اول درختهای با شمارۀ فرد را قط کنیم و در
سطر دوم هیͿ درختͳ را قط ن΋نیم و در سطر سوم درختهای با
شمارۀ فرد را قط کنیم و همین کار را تا آخر ادامه دهیم مشاهده
مͳکنیم که قط ٢۵٠٠ درخت مم΋ن است. اکنون دلیل مͳآوریم
که نمͳتوانیم ٢۵٠١ درخت را قط کنیم. فرض کنیم بتوانیم
٢۵٠١ درخت قط کنیم (فرض خلف). در این صورت اگر این
١٠٠٠٠ درخت را به ٢۵٠٠ دستۀ ۲ × ۲ تقسیم کنیم مͳبینیم که
در ی΋ͳ از دستههای ۲ × ۲ باید دو درخت قط شده داشته باشیم
که طبق شرایط مسأله ام΋ان ندار
٨۴ کمترین، بیشترین
۶٩ .ما تخممرغهایـͳ برای فروش داریم که در بستههای ۶ ،٩ و
٢٠ تایـͳ بستهبندی شدهاند. شما فقط مͳتوانید تخممرغ بستهبندی
شده بخرید. بزرگترین عدد طبیعͳ مانند n که شما نتوانید n تخممرغ
بخرید چند است؟
حل. در بین مضارب ٣ ما فقط نمͳتوانیم ٣ تخممرغ بفروشیم
زیرا با استفاده از بستههای ۶ تایـͳ هر مضربͳ از ۶ یعنͳ هر مضرب
زوجͳ از ٣ را مͳتوانیم بفروشیم و اگر تعداد بستۀ ۶ تایـͳ و یΈ
بستۀ ٩ تایـͳ انتخاب کنیم آنΎاه مͳتوانیم هر مضرب فردی از ٣
را هم بفروشیم.
از سوی دیΎر چون باقیماندۀ تقسیم ٢٠ بر ٣ برابر ٢ است لذا
بعد از عدد ٢٣ هر عددی که در تقسیم بر ٣ باقیماندۀ ٢ داشته
باشد قابل فروش است چون کافͳست مضربͳ از ٣ را با یΈ بستۀ
٢٠ تایـͳ بفروشیم.
همچنین چون باقیماندۀ تقسیم ۴٠ بر ٣ برابر ١ است لذا بعد
از عدد ۴٣ هر عددی که در تقسیم بر ٣ باقیماندۀ ١ داشته باشد
قابل فروش است چون کافͳست مضربͳ از ٣ را با دو بستۀ ٢٠
تایـͳ بفروشیم.
با این توضیحات متوجه مͳشویم که هر عددی بعد از ۴٣ قابل
فروش است. اکنون اگر بتوانیم اثبات کنیم که ۴٣ تخممرغ قابل
فروش نیست آنΎاه مسأله حل شده است.
ادعا مͳکنیم که نمͳتوانیم ۴٣ تخممرغ بفروشیم. فرض کنیم
این کار ام΋انپذیر باشد (فرض خلف). برای انجام این کار حتماً
باید از بستههای ٢٠ تایـͳ هم استفاده کنیم چون
منطق؛ ضامن استدلال ٨۵
تایـͳ استفاده ن΋نیم و فقط بستههای ۶ و ٩ تایـͳ را به کار ببریم
آنΎاه فقط مͳتوانیم مضربͳ از ٣ را درست کنیم ولͳ مͳدانیم که
۴٣ مضرب ٣ نیست. پس ما مجبوریم که یΈ یا دو بستۀ ٢٠
تایـͳ به کار ببریم. اگر یΈ بستۀ ٢٠ تایـͳ استفاده کنیم آنΎاه
باید ٢٣ تای دیΎر را با بستههای ۶ و ٩ تایـͳ درست کنیم که
چون ٢٣ مضرب ٣ نیست این کار ام΋ان ندارد. همچنین اگر دو
بستۀ ٢٠ تایـͳ به کار ببریم آنΎاه باید ٣ تخممرغ دیΎر روی آن
بΎذاریم که ۴٣ تخممرغ بشود ولͳ مͳدانیم که با بستههای ۶ و ٩
تایـͳ نمͳتوان ٣ تخممرغ درست کرد. ■
٧٠ .عدد ٢٠ را به صورت مجموع چند عدد طبیعͳ مانند
a + b + c + d + . . .
a بیشترین مقدار مم΋ن را داشته باشد.
b
c
d
.
.
.
بنویسید به طوری که
حل. ابتدا ببینیم که بهتر است چه عددهایـͳ را به کار ببریم. اگر
در جایـͳ عدد ۵ به کار رفته باشد مͳتوانیم به جای آن ۲ + ۳ را
۵ است. همچنین به جای ۶ مثلا̈
k
۳ بهتر از
۲
k
قرار دهیم چون
مͳتوان ۳ + ۳ گذاشت و برای اعداد بزرگتر هم مͳبینیم که به
کار بردن اعداد ٢ و ٣ بهتر است. همچنین به جای ۴ هم مͳتوان
۴ است. به علاوه بدیهͳ است
k
۲ بهتر از
۲
k
۲ + ۲ گذاشت چون
که به کار بردن ١ اصلا̈ مناسب نیست.
پس ما فقط حق داریم که اعداد ٢ و ٣ را به کار ببریم. در
۲ است ولͳ این یΈ
۳
۳ بهتر از
۲
مورد این دو عدد مͳبینیم که
استثنا است چون برای تعداد بیشتر متوجه مͳشویم که مثلا̈ اگر
تعدادی ٣ را به توان رسانده باشیم و نام آن را k بΎذار
٨۶ کمترین، بیشترین
۳ است. پس بهتر است که
۲
k−۱
۲ خیلͳ بهتر از نوشتن
۳
k
نوشتن
ما عدد ٢٠ را به صورت مجموع یΈ ٢ و شش تا ٣ بنویسیم و ٢
را در پایـینترین پایه استفاده کنیم. ■
٧١ .در یΈ مهمانͳ n نفر حضور دارند. مͳدانیم در هر جم ۴
نفری حداقل یΈ نفر هست که ٣ نفر دیΎر را مͳشناسد. در این
مهمانͳ حداقل چند رابطۀ آشنایـͳ وجود دارد؟
حل. ما در ابتدا کل رابطههای آشنایـͳ بین این افراد را رسم
مͳکنیم و سپس سعͳ مͳکنیم تا جایـͳ که ام΋ان دارد برخͳ از
رابطههای آشنایـͳ را پاک کنیم. مͳدانیم که هر کسͳ مͳتواند با
۱ − n نفر دیΎر آشنا باشد و در نتیجه تعداد کل آشنایـͳها برابر
(۱−n(n مͳباشد (چون هر آشنایـͳ دو بار به حساب مͳآید).
۲
ما مͳتوانیم بدون ایجاد هیͿ مش΋لͳ ی΋ͳ از آشنایـͳها مثلا̈
بین دو نفر a و b را پاک کنیم. اما اگر دو نفر دیΎر غیر از این
دو نفر مثلا̈ با نامهای c و d را در نظر بΎیریم و بخواهیم آشنایـͳ
بین آنها را هم پاک کنیم (فرض خلف) آنΎاه این چهار نفر در
شرایط مسأله صدق نمͳکنند چون هیͿ کدام ازآنها با هر سه نفر
دیΎر آشنا نیست. پس ما نمͳتوانیم دو رابطۀ آشنایـͳ که ی΋ͳ بین
a و b و دیΎری بین c و d است و این چهار نفر متمایز هستند را
پاک کنیم.
با این توضیحات اگر بخواهیم یΈ آشنایـͳ دیΎر را پاک کنیم
باید مثلا̈ بین a و یΈ نفر دیΎر مانند c باشد. پس تا اینجا مͳتوانیم
دو آشنایـͳ را پاک کنیم و شرط مسأله هنوز برقرار باشد.
حال اگر بخواهیم یΈ آشنایـͳ دیΎر را پاک کنیم حتماً
منطق؛ ضامن استدلال ٨٧
بین ی΋ͳ از این سه نفر a ،b و c و شخصͳ دیΎر باشد. اما اگر
این شخص دیΎر فردی غیر از این سه نفر باشد (فرض خلف)
آنΎاه باز هم این چهار نفر در شرایط مسأله صدق نخواهند کرد.
پس ام΋ان ندارد که ما شخص چهارمͳ را وارد کار کنیم و اگر
تصمیم داریم که آشنایـͳ سوم را پاک کنیم باید از آشنایـͳهای
مم΋ن بین این سه نفر باشد. تنها آشنایـͳ مم΋ن پاک نشده بین
این سه نفر، آشنایـͳ بین b و c است. در نتیجه ما مͳتوانیم از ش΋ل
رابطۀ آشنایـͳ بین این افراد، حداکثر یΈ مثلث پاک کنیم و در
■ .ماندͳم ͳباق ͳآشنایـ n(n−۱)
نتیجه حداقل ۳ − ۲
٧٢ .یΈ مرب ۳ × ۳ داریم که از ٩ خانه تش΋یل شده است.
آیا مͳتوانید شش تا از خانههای این مرب را سیاه کنید به طوری
که هیͿ سه خانۀ سیاهͳ روی یΈ خط راست نباشند؟ هفت خانه
چطور؟ چرا؟
حل. برای قسمت اول پاس΁ بله است و به سادگͳ مͳتوان روش را
به دست آورد. اما برای قسمت بعد پاس΁ منفͳ است چون اگر ٧
خانه را سیاه کنیم (فرض خلف) آنΎاه در ی΋ͳ از سطرها باید ٣
خانۀ سیاه داشته باشیم که روی یΈ خط راست قرار مͳگیرند. ■
٧٣ .مجموعۀ A از اعداد را ضرب-آزاد گویـیم اگر حاصلضرب
هیͿ دو عضو آن، عضوی از آن نباشد. زیرمجموعهای با بیشترین
تعداد عضو از مجموعۀ {۱۰۰, . . . , ۳,۲,۱ {مثال بزنید که ضرب-
آزاد باشد.
حل. این مجموعه نمͳتواند شامل عدد ١ باشد. همچنین این
مجموعه نمͳتواند هم ٢ و هم ۴ را داشته باشد. به همین تر
٨٨ کمترین، بیشترین
این مجموعه باید بین ٣ و ٩ ی΋ͳ را داشته باشد، بین ۴ و ١۶ ی΋ͳ
را داشته باشد و نهایتاً بین ١٠ و ١٠٠ نیز ی΋ͳ را داشته باشد. پس
باید ١٠ عدد را کنار بΎذاریم. اما برای آن که اعداد کمتری را
کنار بΎذاریم مͳتوانیم به زوجهای (۴,۲ (و (۱۶,۴ (و زوجهای
(۹,۳ (و (۸۱,۹ (که عدد مشترک دارند توجه کنیم. اگر بخواهیم
کمتر از ١٠ عدد را کنار بΎذاریم مͳتوانیم مثلا̈ عدد ۴ را که
مشترک است حذف کنیم. ولͳ به این ترتیب مجبوریم ٢ را نΎه
داریم و در نتیجه باید دو برابر هر یΈ از عددهای انتخاب شده
را حذف کنیم که بیشتر از ١٠ عدد حذف خواهد شد. با همین
استدلال مͳتوان گفت که حذف عدد مشترک ٩ باعث حذف
عددهای دیΎری خواهد شد که نهایتاً مجبور به حذف بیش از
١٠ عدد خواهیم شد. پس بهترین کار این است که اعداد ١ تا
١٠ را حذف کنیم و مجموعۀ اعداد ١١ تا ١٠٠ که باقͳ مͳماند
ضرب-آزاد خواهد بود. ■
٧۴ .مجموعۀ A از اعداد را جم -آزاد گویـیم اگر مجموع هیͿ
دو عضو آن، عضوی از آن نباشد. زیرمجموعهای با بیشترین تعداد
عضو از مجموعۀ {۱۰, . . . , ۳,۲,۱ {مثال بزنید که جم -آزاد
باشد.
حل. ابتدا مشاهده مͳکنیم که اگر اعداد فرد را در نظر بΎیریم
مجموعهای جم -آزاد حاصل مͳشود چون مجموع دو عدد فرد
همواره عددی زوج است. بنابراین فعلا̈ یΈ مجموعۀ ۵ عضوی
جم -آزاد داریم. ادعا مͳکنیم که هیͿ مجموعۀ ۶ عضوی جم –
مجموعۀ Έی A = {a, b, c, d, e, f} کنیم فرض. ندارد وجود آ
منطق؛ ضامن استدلال ٨٩
جم -آزاد باشد (فرض خلف) که f < e < d < c < b < a.
اعداد
f − a, f − b, f − c, f − d, f − e
را در نظر مͳگیریم. این ۵ عدد متمایز هستند و هیͿ کدام از
آنها با هیͿ یΈ از اعضای مجموعۀ A ی΋ͳ نیستند چون اگر مثلا̈
e = d − f) فرض خلف) آنΎاه باید e + d = f که با جم -آزاد
بودن A در تناقض است. پس اعداد
a, b, c, d, e, f, f − a, f − b, f − c, f − d, f − e
یازده عدد متمایز هستند که از بین اعداد ١ تا ١٠ انتخاب شدهاند
و این ام΋ان ندارد. ■
٧۵ .کوچ΋ترین مضرب ٩ را پیدا کنید که در آن فقط ارقام ١ و
٢ به کار رفته باشد.
حل. عددی مضرب ٩ است که مجموع ارقام آن مضرب ٩
باشد. چون ما مͳخواهیم عدد کوچΈتری را پیدا کنیم پس باید
تعداد رقمهای ٢ به کار رفته در آن عدد تا حد ام΋ان بیشتر باشد.
بنابراین ما باید چهار بار از ٢ و یΈ بار از یΈ استفاده کنیم و
چون مͳخواهیم عدد کوچΈتری بسازیم پس ١ را در سمت چپ
مͳنویسیم. لذا عدد مورد نظر ١٢٢٢٢ است. ■
٧۶ .فرض کنیم A زیرمجموعهای از اعداد حسابͳ باشد و
A + A = {a + b | a, b ∈ A}.
.A + A = {۰,۲,۴,۵,۷,۱۰} اهΎآن A = {۰,۲,۵} اگر̈ مثلا
مͳخواهیم زیرمجموعهای از اعداد حسابͳ مانند A بیابیم که
A + A = {۰,۱,۲,۳, . . . ,
٩٠ کمترین، بیشترین
تعداد اعضای A در کمترین حالت مم΋ن چند است؟
حل. برای آن که صفر به وجود بیاید ما باید حتماً عدد ٠ را در
مجموعۀ A داشته باشیم و چون ١٠ داریم ۵ را باید در A داشته
باشیم و عدد بزرگتری هم در A نباید باشد. اما چون ١ و ٩
را مͳخواهیم داشته باشیم پس باید ١ و ۴ را نیز در مجموعۀ A
بΎذاریم. به این ترتیب همۀ عددها غیر از ٣ و ٧ ساخته مͳشوند و
لذا مجبوریم یΈ عدد دیΎر را هم بΎذاریم. اکنون فرقͳ نمͳکند
که ٢ را بΎذاریم یا ٣ را (البته اگر هر دو عدد را هم بΎذاریم
مجموعۀ مناسبͳ به دست مͳآید ولͳ چون ما کمترین تعداد را
مͳخواهیم پس ی΋ͳ از این دو عدد را در مجموعۀ A قرار مͳدهیم).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *